Tu trouveras ici les exercices sur les ondes. Ces exercices sont inspirés d'annales du BAC. N'hésite pas à aller d'abord voir le cours sur les ondes avant de faire les exercices
Exercice 1: cet exercice est inspiré de l'exercice 3 du BAC Asie de 2007. On a un émetteur qui émet des ondes sonores. On dispose de deux récepteurs R 1 et R 2 espacés de 2, 8 cm selon le schéma suivant:
Un dispositif permet de visualiser le signal par R 1 et R 2. Équation des ondes exercices corrigés du. On obtient la figure suivante:
1) Identifier chaque courbe (on note A la courbe rouge et B la courbe bleue). 2) Déterminer la fréquence f de l'onde. On écarte progressivement le récepteur R 2 de R 1 jusqu'à avoir à nouveau les ondes A et B en phase pour la première fois. On a alors éloigné R 2 de 0, 70 cm. 3) Déterminer la longueur d'onde λ de l'onde. 4) Déterminer la vitesse v de l'onde. 5) Tracer sur le graphique ci-dessus le signal de l'onde reçue au niveau de la nouvelle position de R 2. 6) Faire de même si on avait éloigné R 2 non pas de 0, 70 cm mais de 0, 35 cm.
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Un guide
d'ondes G est un cylindre métallique creux illimité, d'axe Oz,
et dont la section droite est le rectangle 0 < x < a, 0 < y
< b; l'intérieur du guide est rempli d'air, assimilé au vide. On
adopte pour les parois le modèle du conducteur parfait, c'est-à-dire de
conductivité infinie; dans ces conditions, les champs E et B
sont nuls dans le métal. 1. Montrer que la composante tangentielle E t
du champ électrique et la composante normale B n,
du champ magnétique doivent s'annuler sur les parois du guide. 2. Dans toute la suite, on cherche en notation complexe un champ
électrique de la forme:
a. Montrer que A ( x, y) ne dépend
pas de y. Ecrire l'équation aux dérivées partielles dont est solution
A ( x), et montrer que nécessairement. Dans toute la suite on pose:. Etablir les expressions possibles A n
( x) de A ( x) et la relation de dispersion k g, n ( ω)
correspondante, en introduisant un entier n. Équation des ondes exercices corrigés un. Dans toute la suite, on
appellera mode n, la solution associée à l'indice n.
b. Faire apparaître une pulsation critique ω n, c;
discuter brièvement la nature des ondes obtenues.
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:. Trouvons maintenant les fonctions. La condition donne. Course: Équations de la physique mathématique. Par conséquent, D'où, par le principe de superposition, on obtient \begin{align*} u(x, y)&=\sum_{\color{red}{n\geq0}} u_n (x, y) \\ &=\sum_{n\geq0} X_n (x) Y_n ( y) \\ &=a_0(y+\pi)+\sum_{n\geq1} \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\sinh[n(y+\pi)]. \end{align*} Déterminons maintenant les coefficients pour que la condition au bord non-homogène soit satisfaite. On remarque que la donnée peut s'écrire comme combinaison des fonctions propres. En effet, on a: \begin{align*} u(x, 0)&=1+\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\ &=1+\cos(x)-\sin(x)\\ &=2a_0\pi+\left[ a_1\cos(x)+b_1\sin(x)\right]\sinh(2\pi)+\sum_{n\geq2}\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\sinh(2n\pi). \end{align*} Dans ce cas là, on a pas donc à calculer les coefficients de Fourier; une simple identification suffira. On trouve: La solution est donc: ou bien La méthode de séparation des variables: les grandes lignes Résumons la méthode de séparation des variables telle qu'elle apparaît pour l'exemple ci-dessous: Assurez-vous d'avoir une EDP linéaire et homogène avec des conditions aux frontières homogènes.
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N'appliquez pas la condition non-homogène avant le principe de superposition. Chapitre 3: la méthode de séparation des variables Via un exemple illustratif, on explique la méthode de séparation des variables, dite également, de Fourier. La méthode consiste, grosso modo, à chercher des solutions élémentaires séparées; ce qui nous amène à la résolution des EDOs, et, ensuite, à superposer pour avoir la solution générale. Équation des ondes exercices corrigés sur. Mots-clés: solution séparée; problème à valeur propre; série de Fourier. Chapitre 2: EDPs linéaires d'ordre 2 Après un premier chapitre consacré aux EDPs du premier ordre, ce deuxième chapitre est dédié aux EDPs linéaires du second ordre. Nous les classons en trois types: hyperboliques, paraboliques et elliptiques. Ensuite, nous décrirons, pour chacun de ces trois types, la forme canonique; ce qui facilitera leurs études, et éventuellement leurs résolutions. Mots-clés: variable caractéristique; forme canonique. Méthode des caractéristiques: Exemple On considère le problème de Cauchy suivant: La donnée initiale est portée par la courbe initiale.
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exercice 19.
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