Fiche de mathématiques
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Cours de Terminale S
Prérequis: Ce chapitre est un complément de ce qui a été vu en 1 re S sur le produit
scalaire dans le plan. Il faut donc avoir bien compris cette notion et maîtriser l'aspect
calculatoire et les raisonnements qui s'y rapportent. Puisqu'on travaillera dans l'espace
il est important de maîtriser le chapitre précédent sur la géométrie dans l'espace. Enjeu: Ce chapitre possède deux principaux enjeux. Le premier consiste à être capable
de montrer que deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux. Le second est de fournir un lien
entre une équation cartésienne d'un plan et les coordonnées d'un vecteur normal à ce plan. Voir le cours de 1ère sur les produits scalaires
1 Produit scalaire dans l'espace
On considère deux vecteurs de l'espace et. Il est alors possible de
trouver trois points coplanaires de l'espace et tels que
et. On définit alors le produit scalaire dans l'espace comme le produit
scalaire dans le plan.
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Produit scalaire dans l'espace: Fiches de révision | Maths terminale S
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Géométrie - Cours Terminale S Géométrie - Cours Terminale S
Définition Soient et sont deux vecteurs quelconques de l'espace, A, B et C trois points tels que = et =. Quels que soient les points A, B et C il existe au moins un plan P contenant les vecteurs et (Si les vecteurs sont colinéaires il y en a une infinité sinon il n'y en qu'un). Le produit scalaire. =. dans l'espace se ramène donc au prdduit scalaire dans le plan P. Calculer un produit scalaire Puisque qu'on peut toujours ramener un produit scalaire dans l'espcace à un produit scalaire dans un plan, son expression reste la même:. = ( θ) = || ||. || ||( θ)
Le point " C' " est la projection orthogonale de "C" sur AB c'est à dire le point appartenant à AB tel que MM' soit perpendiculaire à AB
L'expression du produit scalaire peut s'écrire:.
Les propriétés de bilinéarité
et symétrie du produit scalaire vues dans le plan
restent valables dans l'espace. Propriétés:
Bilinéarité et symétrie du produit
scalaire
Quels que soient les vecteurs, et et quel que soit le
réel k:
Démonstrations
Deux vecteurs et de l'espace sont toujours
coplanaires, donc les propriétés du
produit scalaire vues dans le plan restent valables. Ainsi. De même qu'à la
propriété 1, cette propriété
du produit scalaire dans le plan reste valable dans
l'espace:. Trois vecteurs de l'espace ne sont pas
nécessairement coplanaires, donc on ne peut pas
utiliser le même argument qu'aux
propriétés 1 et 2. On va utiliser
l'expression du produit scalaire avec les
coordonnées. Soit, et. Alors et. Donc. D'autre part,. D'où
On peut donc en conclure que. Exemple
Soit et deux vecteurs de l'espace
tels que. Alors. Application: Décomposer un vecteur avec la
relation de Chasles pour calculer un produit scalaire
Dans le cube ABCDEFGH
ci-dessus de côté 4, calculons le
produit scalaire où I est le milieu du
segment [ AE].
Produit Scalaire Dans L'espace
Exemple: On souhaite déterminer les coordonnées d'un vecteur
normal à un plan dirigé par et. Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires: une coordonnée est nulle pour l'un mais pas pour l'autre. On note. Puisque est normal au plan dirigé par et alors
On obtient ainsi les deux équations et
A l'aide de la deuxième équation, on obtient. On remplace dans la première:. On choisit, par exemple et on trouve ainsi. On vérifie: et. Un vecteur normal au plan dirigé par les vecteurs et est. Soit un point du plan. Pour tout point, les vecteurs et
sont orthogonaux. Par conséquent. Or. Ainsi:. En posant, on obtient l'équation. Exemple: On cherche une équation du plan passant par dont un vecteur normal est. Une équation du plan est de la forme. Le point appartient au plan. Ses coordonnées vérifient donc l'équation:
Une équation de est donc
On peut supposer que. Par conséquent les coordonnées du point
vérifie l'équation
On considère le vecteur non nul. Soit un point de. On a alors. Puisque, on a donc.
Produit Scalaire Dans L'espace De Hilbert
Le terme perpendiculaires s'emploie uniquement pour des droites sécantes (donc coplanaires). Propriétés
Soient deux droites d 1 d_{1} et d 2 d_{2}, u 1 → \overrightarrow{u_{1}} un vecteur directeur de d 1 d_{1} et u 2 → \overrightarrow{u_{2}} un vecteur directeur de d 2 d_{2}. d 1 d_{1} et d 2 d_{2} sont orthogonales si et seulement si les vecteurs u 1 → \overrightarrow{u_{1}} et u 2 → \overrightarrow{u_{2}} sont orthogonaux, c'est à dire si et seulement si u 1 →. u 2 → = 0 \overrightarrow{u_{1}}. \overrightarrow{u_{2}}=0
Définition (Droite perpendiculaire à un plan)
Une droite d d est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan P \mathscr P si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan. Droite perpendiculaire à un plan
Une droite orthogonale à un plan coupe nécessairement ce plan en un point. Il n'y a donc plus lieu ici de distinguer orthogonalité et perpendicularité. La droite d d est perpendiculaire au plan P \mathscr P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes incluses dans ce plan.
Les principales distinctions concernent les formules faisant intervenir les coordonnées puisque, dans l'espace, chaque vecteur possède trois coordonnées. Propriété
L'espace est rapporté à un repère orthonormé ( O; i ⃗, j ⃗, k ⃗) \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)
Soient u ⃗ \vec{u} et v ⃗ \vec{v} deux vecteurs de coordonnées respectives ( x; y; z) \left(x; y; z\right) et ( x ′; y ′; z ′) \left(x^{\prime}; y^{\prime}; z^{\prime}\right) dans ce repère. Alors:
u ⃗. v ⃗ = x x ′ + y y ′ + z z ′ \vec{u}. \vec{v} =xx^{\prime}+yy^{\prime}+zz^{\prime}
Conséquences
∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 ||\vec{u}|| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
A B = ∣ ∣ A B → ∣ ∣ = ( x B − x A) 2 + ( y B − y A) 2 + ( z B − z A) 2 AB=||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B} - y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B} - z_{A}\right)^{2}}
2. Orthogonalité dans l'espace
Définition
Deux droites d 1 d_{1} et d 2 d_{2} sont orthogonales si et seulement si il existe une droite qui est à la fois parallèle à d 1 d_{1} et perpendiculaire à d 2 d_{2}
d 1 d_{1} et d 2 d_{2} sont orthogonales
Remarque
Attention à ne pas confondre orthogonales et perpendiculaires.
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