$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, $m, n, p$ sont des entiers strictement positifs. Matrices et applications linéaires
$E$, $F$ et $G$ désignent des espaces vectoriels de dimensions respectives $p, n, m$,
dont $\mathcal B=(e_i)_{1\leq i\leq p}$, $\mathcal C=(f_i)_{1\leq i\leq n}$ et $\mathcal D=(g_i)_{1\leq i\leq m}$
sont des bases respectives. Soit $x\in E$. La matrice du vecteur $x$ dans la base $\mathcal B$ est la matrice colonne
$X\in\mathcal M_{p, 1}(\mathbb R)$ constituée par les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$: si $x=a_1e_1+\cdots+a_pe_p$, alors
$$X=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\ \vdots \\ a_p\end{pmatrix}. $$
Soit $(x_1, \dots, x_r)\in E^r$ une famille de vecteurs de $E$. La matrice de la famille $(x_1, \dots, x_r)$ dans la base $\mathcal B$
est la matrice de
$\mathcal M_{p, r}(\mathbb K)$ dont la $j$-ème colonne est constituée par les coordonnée de $x_j$ dans la base $\mathcal B$. Soit $u\in \mathcal L(E, F)$. Résumé de cours : Matrices et applications linéaires. La matrice de $u$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal C$
est la matrice de $\mathcal M_{n, p}(\mathbb K)$ dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteurs $(u(e_1), \dots, u(e_p))$
dans la base $\mathcal C=(f_1, \dots, f_n)$.
Fiche Résumé Matrices Sur
Il est stable par produit. P2: L'ensemble des matrices carrées d'ordre triangulaires supérieures à coefficients dans est un s. Il est stable par produit. P3: Il en est de même de l'ensemble des matrices carrées d'ordre triangulaires inférieures à coefficients dans. 6. Matrices inversibles en Maths Sup
P: On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans inversibles. est un groupe appelé groupe linéaire d'ordre à coefficients dans. D. Matrices et applications linéaires
1. Matrice d'une famille de vecteurs
Soit un -espace vectoriel de base. Soit une famille de. La matrice de la famille dans la base est la matrice de type telle que pour tout, la -ème colonne de est formée des coordonnées de dans la base. 2. Matrice de
D1: La matrice de dans les bases de et de est une matrice notée
ou
de type
Pour retenir: Les coordonnées de dans la base forment la -ème colonne de. Fiche résumé matrices sur. P1: L'application,
est un isomorphisme d'espaces vectoriels..
3. Matrice d'un endomorphisme
D2: La matrice de dans la base de est une matrice carrée d'ordre où que l'on note ou.
Fiche Résumé Matrices Examples
Si $E$ et $F$ ont même dimension, alors $u$ est inversible si et seulement si $\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u)$ est inversible. Dans ce cas, on a
$$\textrm{Mat}_{(\mathcal C, \mathcal B)}(u^{-1})=\big[\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u)\big]^{-1}. $$
Si $A\in\mathcal M_{n, p}(\mathbb K)$, alors $A$ induit une application linéaire $u_A:\mathbb K^p \to\mathbb K^n$
définie par $u_A(X)=AX$ où on identifie un vecteur de $\mathbb K^p$ (resp. $\mathbb K^n$) et le vecteur colonne formé des coordonnées de ce vecteur
dans la base canonique. Le noyau, l' image, et le rang de $A$
sont alors par définition le noyau, l'image et le rang de l'endomorphisme associé. Fiche résumé matrices et. Le rang de $A$ est aussi le rang des vecteurs colonnes
qui la compose. Changements de base
$E, F$ sont des espaces vectoriels de dimension finie. Soit $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$ deux bases de $E$. La matrice de passage de la base $\mathcal B_1$ à la
base $\mathcal B_2$ est la matrice de la famille de vecteurs $\mathcal B_2$ dans la base $\mathcal B_1$.
Fiche Résumé Matrices Et
En faisant des opérations sur les lignes (c'est-à-dire que l'on fait avec), il faut réussir à annuler les coefficients devant à partir de la deuxième ligne. Comme on utilise pour tout de sorte que le système devienne:
Si tous les coefficients pour et sont nuls, alors les opérations de triangularisation du système sont terminées. Si au moins l'un des coefficients pour et est non nul, on introduit en changeant éventuellement l'ordre des équations \`a le pivot suivant de deuxième indice minimum. En changeant éventuellement l'ordre des équations, on suppose que c'est le coefficient de dans la ligne On obtient un système du type:
avec
Attention: on ne touche pas à la première ligne dans cette phase de l'algorithme. Fiche résumé matrices examples. Pour les lignes à on effectue l'opération de fa\c{c}on à faire disparaître le coefficient de dans les lignes numérotées de à
On poursuit la méthode précédente sur les lignes à jusqu'à ne plus trouver de pivot. On obtient à la fin un système triangulaire que l'on résout en commençant par la dernière équation.
Fiche Résumé Matrices For Stable Carbon
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Matrices inversibles, produit de matrices & polynôme d'une matrice
Méthode 1: Produit de matrices. Rappelons que la notation désigne l'ensemble des matrices à coefficients dans ayant lignes et colonnes. Les matrices des fiches d'identité des oeuvres d'art ~ La Classe des gnomes. Dans le cas où on identifie avec
Soient et deux matrices. Pour que le produit ait un sens, il faut et il suffit que Dans ce cas,
Dans le cas particulier où et sont deux matrices carrées d'ordre le produit est défini et est une matrice carrée d'ordre
Il faut donc retenir que:
le produit est donc possible si et seulement si le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de
si et
alors o\`u si et on a
dans le cas particulier où est une matrice colonne alors le produit est une matrice colonne dont le nombre de lignes est égal au nombre de lignes de
Si et alors avec, pour
Exemple: On pose et
Calculer les matrices et si cela est possible. Réponse:
Le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de donc le produit existe et
=
Méthode 2: Polynôme d'une matrice.
Deux matrices $M, M'\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont dites semblables
s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ tel que $M'=P^{-1}MP$. Autrement dit,
$M$ et $M'$ représentent le même endomorphisme dans des bases différentes. Trace d'une matrice
Si $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on appelle trace de $A$, notée $\textrm{Tr}(A)$,
la somme des coefficients diagonaux de $A$. La trace est une forme linéaire sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$. Proposition: Soit $A, B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. Alors
$\textrm{Tr}(AB)=\textrm{Tr}(BA)$. Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\textrm{Tr}(A)=\textrm{Tr}(B)$. Si $u\in\mathcal L(E)$, alors on appelle trace de $u$ la trace de la matrice représentant $u$
dans n'importe quelle base de $E$. Proposition: Soit $u, v\in\mathcal L(E)$. Résumé de cours et méthodes sur les matrices ECG1. $\textrm{Tr}(uv)=\textrm{Tr}(vu)$. La trace d'un projecteur est égale à son rang. Opérations sur les matrices et rang
On rappelle qu'une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice
est l'une des trois opérations suivantes:
permuter deux lignes $L_i$ et $L_j$;
multiplier une ligne $L_i$ par un scalaire $\lambda$ non nul;
ajouter un multiple d'une ligne $L_j$ à une autre ligne $L_i$.
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