Donc, les conditions qui doivent être remplies pour la stabilité du système donné sont les suivantes:
On voit que si
ensuite
Est satisfait. Nous avons le tableau suivant:
1
11
200
6 1
10 1
200 20
-19
20
il y a deux changements de signe. Le système est instable, car il comporte deux pôles demi-plan droit et deux pôles demi-plan gauche. Le système ne peut pas avoir jω pôles car une ligne de zéros n'apparaît pas dans la table Routh. Parfois, la présence de pôles sur l'axe imaginaire crée une situation de stabilité marginale. Dans ce cas, les coefficients du "tableau de Routh" dans une ligne entière deviennent nuls et ainsi une solution supplémentaire du polynôme pour trouver des changements de signe n'est pas possible. Puis une autre approche entre en jeu. La ligne de polynôme qui est juste au-dessus de la ligne contenant les zéros est appelée "polynôme auxiliaire". 8
16
2
12
Dans un tel cas, le polynôme auxiliaire est qui est à nouveau égal à zéro. L'étape suivante consiste à différencier l'équation ci-dessus qui donne le polynôme suivant..
- Tableau de route pour les
- Tableau de routage
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Tableau De Route Pour Les
Le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer si les pôles d'une fonction de transfert sont tous à partie réelle sans les calculer. Considérons un systèmes dont la fonction de transfert s'écrit:
( 2. 14)
avec. On construit alors un tableau de coefficients comportant lignes (voir tableau 2. 2). Les deux premières lignes sont constituées des coefficients du dénominateur; les autres lignes sont déterminées à partir des lignes précédentes de la manière suivante:
( 2. 15)
par exemple, pour un système d'ordre, on obtient le tableau 2. 3 avec,,,,,,,,. Théorème 1 (Critère de Routh-Hurwitz)
Le système est stable si et seulement si tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh-Hurwitz sont de même signe
Exercice 3 (Critère de Routh-Hurwitz)
Déterminez la stabilité de:
( 2. 16)
( 2. 17)
Déterminez pour quelles valeurs de le système:
( 2. 18)
est stable. Laroche
2008-09-29
Tableau De Routage
Critère de ROUTH (ou Routh
Critère de ROUTH (ou Routh-Hurwitz)
On appelle critère de Routh un critère algébrique permettant d'évaluer la stabilité d'un système à partir des
coefficients du dénominateur D(p) de sa fonction de transfert en boucle fermée (FTBF). Il est équivalent au
critère graphique du revers quant aux conclusions induites. Ce critère est issu d'une méthode qui permet de décompter le nombre de racines à partie réelle positive ou
nulle du polynôme D(p). Cette méthode est elle-même déduite de l'étude des polynômes d'Hurwitz, et
consiste à former le tableau suivant:
Construction du tableau des coefficients
n
n-1
Soit D(p) = an. p + an-1. p
+ … + a1. p + a0, avec an > 0.
an
an-2
an-4
…
a2
an-1
an-3
an-5
a1
n-2
bn-2
bn-4
bn-6
n-3
c n-3
1
0
p
a0
si n pair
a3
si n impair
Première colonne, dite des pivots
n-2k
La première ligne contient les coefficients des termes en p, dans l'ordre des puissances décroissantes. n-1-2k
La deuxième ligne contient les coefficients des termes en p, et se termine suivant la parité de n.
Tableau De Rothko
Les références
Hurwitz, A., "Sur les conditions dans lesquelles une équation n'a que des racines avec des parties réelles négatives", Rpt. dans Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory, Ed. RT Ballman et coll. New York: Douvres 1964
Routh, EJ, Un traité sur la stabilité d'un état de mouvement donné. Londres: Macmillan, 1877. Rpt. dans Stability of Motion, Ed. À Fuller. Londres: Taylor & Francis, 1975
Felix Gantmacher (traducteur JL Brenner) (1959) Applications de la théorie des matrices, pp 177–80, New York: Interscience.
Tableau De Route De La Soie
Application dans le plan de BLACK. Le système sera stable en boucle fermée si le lieu de BLACK de boucle ouverte, parcouru selon les ω croissants laisse le point critique (-180, 0dB) à droite. 17
Tableau De Route Des Vins
On obtient donc C'est, est le nombre de changements de signe dans la séquence,,,... qui est le nombre de changements de signe dans la séquence,,,,... et; C'est est le nombre de changements de signe dans la séquence,,,... Depuis notre chaîne,,,,... aura membres, il est clair que puisqu'à l'intérieur si vous partez de à un changement de signe ne s'est pas produit, dans venir de à on a, et de même pour tous transitions (il n'y aura pas de termes égaux à zéro) nous donnant changements de signe totaux. Comme et, et de (18), on a ça et ont dérivé le théorème de Routh - Le nombre de racines d'un polynôme réel qui se trouvent dans le demi-plan droit est égal au nombre de changements de signe dans la première colonne du schéma de Routh. Et pour le cas stable où ensuite par lequel on a le fameux critère de Routh: Pour que toutes les racines du polynôme pour avoir des parties réelles négatives, il est nécessaire et suffisant que tous les éléments de la première colonne du schéma de Routh soient différents de zéro et de même signe.
On peut observer que la séquence ainsi construite satisfera aux conditions du théorème de Sturm, et donc un algorithme pour déterminer l'indice déclaré a été développé. C'est en appliquant le théorème de Sturm (28) à (29), grâce à l'utilisation de l'algorithme euclidien ci-dessus que la matrice de Routh est formée. On a
et identifier les coefficients de ce reste par,,,, et ainsi de suite, rend notre reste formé
Continuer avec l'algorithme euclidien sur ces nouveaux coefficients nous donne
où l' on note à nouveau les coefficients du reste par,,,,
faire notre reste formé
et nous donner
Les lignes du tableau Routh sont déterminées exactement par cet algorithme lorsqu'il est appliqué aux coefficients de (20). Une observation à noter est que dans le cas régulier les polynômes et ont comme plus grand facteur commun et donc il y aura des polynômes dans la chaîne. Notez maintenant que pour déterminer les signes des membres de la suite de polynômes qui à la puissance dominante de sera le premier terme de chacun de ces polynômes, et donc seulement ces coefficients correspondant aux puissances les plus élevées de in, et, qui sont,,,,... déterminer les signes,..., à.
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