I. La fonction «carré»
Définition
La fonction " carré " est la fonction définie sur R \mathbb{R} par: x ↦ x 2 x\mapsto x^2. Sa courbe représentative est une parabole. Exercices Fonctions carré et inverse seconde (2nde) - Solumaths. Elle est symétrique par rapport à l' axe des ordonnées. Propriété
La fonction carré est strictement décroissante sur] − ∞; 0 [ \left] - \infty; 0\right[ et strictement croissante sur] 0; ∞ [ \left]0; \infty \right[. Elle admet en 0 un minimum égal à 0. Tableau de variations de la fonction carrée
Démonstration
Démontrons par exemple que la fonction carré est décroissante sur] − ∞; 0 [ \left] - \infty; 0\right[. Notons f: x ↦ x 2 f: x\mapsto x^2 et soient x 1 x_1 et x 2 x_2, deux réels quelconques tels que x 1 < x 2 < 0 x_1 < x_2 < 0. Alors:
f ( x 1) − f ( x 2) = x 1 2 − x 2 2 = ( x 1 − x 2) ( x 1 + x 2) f\left(x_1\right) - f\left(x_2\right)=x_1^2 - x_2^2=\left(x_1 - x_2\right)\left(x_1+x_2\right)
Or x 1 − x 2 < 0 x_1 - x_2 < 0 car x 1 < x 2 x_1 < x_2
et x 1 + x 2 < 0 x_1+x_2 < 0 car x 1 x_1 et x 2 x_2 sont tous les deux négatifs.
Exercice Sur La Fonction Carré Seconde Nature
où a a, b b et c c sont des réels appelés coefficients et a ≠ 0 a\neq 0
Sa courbe représentative est une parabole, elle admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées. Remarque
Une expression de la forme a x 2 + b x + c ax^2+bx+c avec a ≠ 0 a\neq 0 est la forme développée d'un polynôme du second degré. Une expression de la forme a ( x − x 1) ( x − x 2) a\left(x - x_1\right)\left(x - x_2\right) avec a ≠ 0 a\neq 0 est la forme factorisée d'un polynôme du second degré. Exercice [Fonctions du second degré]. Théorème
Une fonction polynôme du second degré est:
Si a > 0 a > 0:
strictement décroissante sur] − ∞; − b 2 a] \left] - \infty; \frac{ - b}{2a}\right] et strictement croissante sur [ − b 2 a; + ∞ [ \left[\frac{ - b}{2a}; +\infty \right[. Si a < 0 a < 0:
strictement croissante sur] − ∞; − b 2 a] \left] - \infty; \frac{ - b}{2a}\right] et strictement décroissante sur [ − b 2 a; + ∞ [ \left[\frac{ - b}{2a}; +\infty \right[.
Exercice Sur La Fonction Carré Seconde Histoire
L'essentiel pour réussir! La fonction carré
Exercice 1
Résoudre l'équation (1): $2x^2-18=0$. Résoudre l'équation (2): $5(x+2)^2-80=0$. Résoudre l'équation (3): $x^2+3x-6=-1+3x$. Résoudre l'équation (4): $(2x-1)(x^2-10)=0$. Résoudre l'équation (5): $x^2+3=0$. Résoudre l'inéquation (6): $x^2<9$. Résoudre l'inéquation (7): $x^2>9$. Résoudre l'inéquation (8): $-3x^2≤-11$. Résoudre l'inéquation (9): $x^2+1≥0$. Exercices corrigés 2nde (seconde), Fonctions carré et inverse - 1505 - Problèmes maths lycée - Solumaths. Solution...
Corrigé
A retenir: dans une équation ou une inéquation dont le membre de droite est nul,
si le membre de gauche contient des $x$ uniquement dans un carré,
alors il est conseillé d'isoler ce carré. (1) $⇔$ $2x^2-18=0$ $⇔$ $2x^2=18$ $⇔$ $x^2={18}/{2}$ $⇔$ $x^2=9$
On a isolé le carré. On obtient donc: (1) $⇔$ $x=√9$ ou $x=-√9$
Donc: (1) $⇔$ $x=3$ ou $x=-3$
S$=\{-3;3\}$
A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2=a$ $⇔$ $x=√a$ ou $x=-√a$. (2) $⇔$ $5(x+2)^2-80=0$ $⇔$ $5(x+2)^2=80$ $⇔$ $(x+2)^2={80}/{5}$ $⇔$ $(x+2)^2=16$
On obtient donc: (2) $⇔$ $x+2=√{16}$ ou $x+2=-√{16}$
Donc: (2) $⇔$ $x=4-2=2$ ou $x=-4-2=-6$
S$=\{-6;2\}$
(3) $⇔$ $x^2+3x-6=-1+3x$ $⇔$ $x^2+3x-6+1-3x=0$ $⇔$ $x^2-5=0$ $⇔$ $x^2=5$
Donc: (3) $⇔$ $x=√5$ ou $x=-√5$
S$=\{-√5;√5\}$
(4) $⇔$ $(2x-1)(x^2-10)=0$ $⇔$ $2x-1=0$ ou $x^2-10=0$.
Exercice Sur La Fonction Carré Seconde Guerre
On continue alors: (8) $⇔$ $x^2≥{11}/{3}$ $⇔$ $x≤-√{{11}/{3}}$ ou $x≥√{{11}/{3}}$
S$=]-\∞;-√{{11}/{3}}$$]∪[$$√{{11}/{3}};+\∞[$
(9) $⇔$ $x^2≥-1$
Or, un carré est positif ou nul. Donc l'inégalité $x^2≥-1$ est toujours vraie. Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation (9) est l'ensemble de tous les réels. S$=ℝ$
Réduire...
Exercice Sur La Fonction Carré Seconde Main
Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths 2 nde > Fonctions
Définition:
On nomme fonction carrée, la fonction définie sur par. Tableau de valeurs:
-3
-2
-1
-0, 5
0
0, 5
1
2
3
9
4
0, 25
Remarque:
La fonction carrée n'est pas linéaire. Cette fonction est paire: pour tout,. Représentation graphique:
La représentation graphique de la fonction carrée se nomme parabole. L'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction carrée. La représentation graphique permet également de trouver les produits de deux nombres. Exemple: 2 × 3 = 6...
Repérage sur le graphe:
Sens de variation:
Fonctions se ramenant à la fonction carrée:
La représentation graphique de la fonction est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation « horizontale »:
La fonction est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur. Exercice sur la fonction carré seconde main. Exercice: Représenter la fonction. La représentation graphique de la fonction est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation « verticale »:
En général, vu que avec et, la représentation graphique de toute fonction trinôme du type est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation.
Exercice 8
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+2)^2 – 4$. Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2[$. Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $]-2;+\infty[$. En déduire le tableau de variation de $f$. Quel est donc le minimum de de la fonction $f$? Exercice sur la fonction carré seconde histoire. En quel point est-il atteint? Correction Exercice 8
On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a < b < -2$. $\begin{align*} f(a) – f(b) & = (a+2)^2 – 4 – \left((b+2)^2 – 4\right) \\\\
& = (a+2)^2 – 4 – (b+2)^2 + 4 \\\\
& = (a + 2)^2 – (b + 2)^2 \\\\
& = \left((a+2) – (b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\\\
&= (a-b)(a+b+4)
Puisque $a0$
Donc $f(a) – f(b) >0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2[$. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-2 -2 -2 + 4$ soit $a+b+4>0$. Par conséquent $(a-b)(a+b+4) <0$
Donc $f(a) – f(b) <0$ et la fonction $f$ est croissante sur $]-2;+\infty[$.
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