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De plus, le groupe de Galois d'une primitive donnée est soit trivial (s'il n'est pas nécessaire d'étendre le corps pour l'exprimer), soit le groupe additif des constantes (correspondant à la constante d'intégration). Ainsi, le groupe de Galois différentiel d'une primitive ne contient pas assez d'information pour déterminer si elle peut ou non s'exprimer en fonctions élémentaires, ce qui constitue l'essentiel du théorème de Liouville. Inversement, la théorie de Galois différentielle permet d'obtenir des résultats analogues, mais plus puissants, par exemple de démontrer que les
fonctions de Bessel, non seulement ne sont pas des fonctions élémentaires, mais ne peuvent même pas s'obtenir à partir de primitives de ces dernières (ce ne sont pas des fonctions liouvilliennes). De manière analogue (mais sans utiliser la théorie de Galois différentielle), Joseph Ritt a obtenu en 1925 une caractérisation des fonctions élémentaires dont la bijection réciproque est également élémentaire [ 1]. Notes [ modifier | modifier le code]
↑ (en) Joseph Ritt, « Elementary functions and their inverses », Trans.
Theoreme De Liouville
En analyse complexe, le théorème de Liouville est un résultat portant sur les fonctions entières (les fonctions holomorphes sur tout le plan complexe). Alors qu'il existe un grand nombre de fonctions infiniment dérivables et bornées sur la droite réelle, le théorème de Liouville affirme que toute fonction entière bornée est constante. Ce théorème est dû à Cauchy. Ce détournement est l'œuvre d'un élève de Liouville qui prit connaissance de ce théorème aux cours lus par ce dernier [ 1]. Énoncé [ modifier | modifier le code]
Le théorème de Liouville s'énonce ainsi:
Théorème de Liouville — Si f est une fonction définie et holomorphe sur tout le plan complexe, alors f est constante dès lors qu'elle est bornée. Ce théorème peut être amélioré:
Théorème — Si f est une fonction entière à croissance polynomiale de degré au plus k, au sens où:
alors f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à k.
Démonstration
La démonstration proposée, relativement courte, s'appuie sur l' inégalité de Cauchy.
Théorème De Liouville Mon
En mécanique classique
On utilise les coordonnées généralisées ( q, p) [ 1] où N est la dimension du dispositif. La densité de probabilité est définie par la probabilité de rencontrer l'état [ 2] du dispositif dans le volume illimitétésimal. Quand on calcule l'évolution temporelle cette densité de probabilité ρ ( p, q), on obtient:
On utilise alors les équations canoniques de Hamilton, en les remplaçant dans l'équation précédente:
d'où:
en utilisant les crochets de Poissons. Démonstration
On considère l'équation de continuité d'un dispositif conservatif:
or le second terme vaut [ 3]:
On obtient bien:
En mécanique quantique
D'après le principe de correspondance, on peut rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique:
d'où on déduit:
Ici, est l' opérateur hamiltonien et ρ la matrice densité. Quelquefois cette équation est aussi appelée l'équation de Von Neumann.
Cette erreur s'est propagée depuis. Consulter aussi...