Pour que soit bilinéaire il faut en particulier que c'est-à-dire, même lorsque c'est-à-dire même lorsque. Il faut donc que. Moyennant quoi, donc est bilinéaire symétrique, et c'est un produit scalaire si et seulement si (de plus). Exercice 1-11 [ modifier | modifier le wikicode]
Dans les deux cas suivants, montrer que l'application est un produit scalaire sur et déterminer la norme euclidienne associée. et;
et. Dans les deux cas, est évidemment une forme bilinéaire symétrique sur. pour tout non nul, donc est un produit scalaire sur et la norme euclidienne associée est. Exercice 1-12 [ modifier | modifier le wikicode]
À l'aide du produit scalaire défini à la question 1 de l'exercice 1-10, montrer que. Montrer que pour tout:;. Il s'agit simplement de l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
pour;
pour le produit scalaire canonique sur et les deux vecteurs:
et, sachant que et,
Exercice 1-13 [ modifier | modifier le wikicode]
Pour, on pose. Montrer que:
est une norme associée à un produit scalaire;
cette norme est matricielle, c'est-à-dire vérifie (pour toutes matrices et de).
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Le produit scalaire et ses applications: des exercices corrigés destiné aux élèves de la première année bac scientifique biof, pour progresser en maths et doper votre niveau. Il vaut mieux essayer de faire les exercices avant de commencer à regarder les réponses
Rappel de cours
Exercice 1
Corrigé de l'exercice 1
Exercice 2
Corrigé de l'exercice 2
Exercice 3
Corrigé de l'exercice 3
Exercice 4
Corrigé de l'exercice 4
Exercice 5
Corrigé de l'exercice 5
Exercice 6
Corrigé de l'exercice 6
Exercice 7
Corrigé de l'exercice 7
Exercice 8
Corrigé de l'exercice 8
Exercice 9
Corrigé de l'exercice 9
Exercice 10
Corrigé de l'exercice 10
Exercice 11
Corrigé de l'exercice 11
Exercice 12
Corrigé de l'exercice 12
Exercice 13
Corrigé de l'exercice 13
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donc. Exercice 1-5 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit vérifiant. Montrer que est une similitude vectorielle, c'est-à-dire le produit d'un élément de par un réel strictement positif. Si alors donc donc. Soit la norme commune à tous les pour unitaire. Alors, et. Exercice 1-6 [ modifier | modifier le wikicode]
Montrer que est un produit scalaire sur. Déterminer le plan. Déterminer une base de ce plan. Le seul point non immédiat est:. Il est dû au fait que le seul polynôme de degré qui admet 3 racines (au moins) est le polynôme nul..
donc une base de est (par exemple). Exercice 1-7 [ modifier | modifier le wikicode]
Soient un espace euclidien et un sous-groupe fini de. Définir sur un nouveau produit scalaire, de telle façon que son groupe orthogonal contienne. On pose. Par construction, est bilinéaire, symétrique et définie positive. Pour tout, parce que l'application est bijective. Exercice 1-8 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit un espace euclidien de dimension n. On notera l'ensemble des formes quadratiques définies positives sur et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques définies positives sur.
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Exercice 1-1 [ modifier | modifier le wikicode]
L'application Q définie sur par
est-elle une forme quadratique? Exercice 1-2 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit vérifiant:. Que dire de? Solution
La forme bilinéaire symétrique associée à cette forme quadratique est nulle, or sa matrice est. Donc est antisymétrique. Exercice 1-3 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit. Montrer que et. Étudier les cas d'égalité si. Soit le vecteur dont toutes les composantes sont égales à. Dans muni de sa structure euclidienne canonique, on a. Soit la matrice dont toutes les composantes sont égales à, les signes étant choisis de telle façon que. Dans muni de sa structure euclidienne canonique,..
tous les sont égaux à, n est pair, et (en plus d'être orthogonale) est symétrique. Exercice 1-4 [ modifier | modifier le wikicode]
Soient et. Montrer que est autoadjoint, puis déterminer α pour que soit une isométrie. donc est autoadjoint. est donc une isométrie si et seulement si c'est une involution.
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