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En effet, f (–2) = f (–1) = f (2) = 0. La fonction g: x →
–0, 2( x + 3)( x –4)²
admet 2 racines: –3 et 4. En effet, g (–3) = g (4) = 0. Ici, on dit que 4 est une racine double. La fonction h: x
→
(x – 1) 3
n'admet qu'une seule
racine: 1. En effet, h (1) = 0. Ici, on dit que 1 est une racine triple. Ces trois racines peuvent donc être distinctes ou
non. Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe
représentative de la fonction coupe l'axe
des abscisses en un, deux ou trois points
d'abscisses x 1,
Ci-dessous, les courbes représentatives des
3 fonctions de l'exemple
précédent:
3. Signe d'une fonction polynôme de
Pour obtenir le signe d'une telle fonction, il faut
dresser un tableau de signes. Considérons x 1,
et x 3 les trois
racines telles que x 1 ≤ x 2 ≤ x 3. On obtient le tableau de signes suivant:
Et donc,
Si
Alors
est
a > 0
a ( x – x 1)( x – x 2)( x – x 3)
négatif sur]–∞; x 1 [
et sur] x 2; x 3 [
positif sur] x 1; x 2 [
et sur] x 3; +∞[
a < 0
positif sur]–∞; x 1 [
négatif sur] x 1; x 2 [
Remarques
Dans le cas où
x 1 = x 2,
l'intervalle] x 1; x 2 [
n'existe pas.
Tableau De Signe Polynome Pdf
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par batmanforaday (invité) 29-10-07 à 15:05 bonjour, j'ai un probleme, pendant un ds une question qui na jamais été traité en cours a été posé, et jaimerai la résoudre mais je ne comprend pas comment. Il faut étudier le signe du pôlynome q qui est égal a q(x)=-x^3+x^2+4x-4
claire. Posté par Tom_Pascal re: tableau de signe d'un polynome du 3eme degré. 29-10-07 à 15:09 Bonjour,
Tu peux trouver une racine évidente (en constatant que q(1)=0)
Donc tu peux écrire q(x) de la forme:
q(x)=(x-1)(ax²+bx+c)
En procédant par identification, tu peux trouver les valeurs des coefficients a, b et c... et à partir de là, étudier le signe de q(x) en finissant de factoriser au maximum l'expression...
Posté par batmanforaday (invité) re: tableau de signe d'un polynome du 3eme degré. 29-10-07 à 15:19 je trouve q(x)=(x-1)(-x 2 +4)
les solutions de q(x)=0 sont -2 1 et 2
mais je ne sais pas quel signe je dois mettre entre les solutions:
x -infini -2 1 2 +infini
q(x) 0 0 0
Posté par nad4011 re: tableau de signe d'un polynome du 3eme degré.
Tableau De Signe Polynome Mon
En conclusion de notre étude, nous constatons que la racine du polynôme est la même que dans le premier cas, et que le changement de signe du polynôme se fait encore par rapport à elle. Voici le Tableau de Signes que nous obtenons. Tableau de Signes pour \(a\lt0\)
Nous constatons que pour \(a\lt0\), \(P(x)\) est du signe de \(a\) quand la valeur de la variable est plus grande que la racine du polynôme, et du signe contraire sinon. Comme dans le premier cas. Exemple d'application pour « a » négatif? Quel est le signe du polynôme \(P(x)=-4x+20\) quand \(x\) varie? Le coefficient \(a\) prend ici la valeur \(-4\), il est donc strictement négatif. Pour ce cas aussi nous reprenons soigneusement le processus que nous avons expliqué: nous recherchons toujours les valeurs de la variable \(x\) pour lesquelles \(P(x)\) est soit négatif, soit nul, soit positif. Etude du signe du polynôme \(P(x)=-4x+20\)
\[-4x+20=0\]
\[-4x=-20\]
\[x=\frac{-20}{-4}\]
\[\boxed{x=5}\]
\[-4x+20\gt0\]
\[-4x\gt -20\]
\[x\lt\frac{-20}{-4}\]
\[\boxed{x\lt5}\]
\[-4x+20\lt0\]
\[-4x\lt -20\]
\[x\gt\frac{-20}{-4}\]
\[\boxed{x\gt5}\]
\(P(x)\) est nul pour \(x=5\)
\(P(x)\) est positif pour \(x\lt5\)
\(P(x)\) est négatif pour \(x\gt5\)
De même, nous synthétisons ces résultats dans un tableau de signes.
1. Fonction polynome de degré 3
Une fonction du type x → a ( x – x 1)( x – x 2)( x – x 3)
est une fonction polynôme de
degré 3. C'est la forme factorisée de ce
polynôme. Exemple
Montrer que la fonction f(x) = 2( x – 3)( x + 2)( x – 1)
On développe l'expression algébrique
de f et on
obtient:
f(x) = (2 x – 6)( x ² – x + 2 x – 2) =
(2 x – 6)( x ² + x – 2)
= 2 x 3 + 2 x ² – 4 x – 6 x ² – 6 x + 12 =
2 x 3 – 4 x ² – 10 x + 12
L'expression 2 x 3 – 4 x ² – 10 x + 12
C'est la forme développée de
2( x – 3)( x + 2)(x – 1). 2. Racine(s) d'une fonction polynôme de
degré 3
On dit qu'un réel r est une racine
d'une fonction polynôme du troisième
degré f
d'expression f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
lorsque f(r) = 0,
c'est-à-dire lorsque ar 3 + br 2 + cr + d = 0. Dans cette fiche, nous traitons uniquement des
fonctions polynômes de degré 3 du type
x → a ( x – x 1)( x – x 2)( x – x 3). Les racines d'une fonction polynôme de
degré 3 du type x → a ( x – x 1)( x – x 2)( x – x 3)
sont x 1,
x 2
et x 3. Exemples
La fonction f: x →
2( x – 2)( x + 1)( x + 2)
admet 3 racines: –2;
–1
et 2.