Dveloppement de Taylor, séries entières, fonctions usuelles
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Résumé: Séries entières. Calcul des fonctions
transcendantes usuelles. Soit f une fonction indéfiniment dérivable sur un intervalle I de
et x 0 I. On peut alors effectuer le développement de Taylor de f
en x 0 à l'ordre n
T n ( f)( x) = f ( x 0) + ( x - x 0) f' ( x 0) +... + ( x - x 0) n
et se demander si T n ( f) converge lorsque n tend vers
l'infini, si la limite est égale à f ( x) et si on peut facilement
majorer la différence entre f ( x) et T n ( f)( x). Si c'est le
cas, on pourra utiliser T n ( f)( x) comme valeur approchée de f ( x). On peut parfois répondre à ces questions simultanément en regardant le
développement de Taylor de f avec reste: il existe compris
entre x 0 et x tel que
R n ( x): = f ( x) - T n ( f)( x) = ( x - x 0) n+1
C'est le cas pour la fonction exponentielle que nous allons
détailler, ainsi que les fonctions sinus et cosinus.
- Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I. - Analyse - Séries Entières
- Séries numériques, suites et séries de fonctions, séries entières
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RÉSumÉ De Cours De Sup Et SpÉ T.S.I. - Analyse - SÉRies EntiÈRes
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La théorie des séries entières exprime la majorité des fonctions usuelles comme somme de séries. Ceci permet de démontrer des propriétés de ces fonctions, de calculer des sommes compliquées et également de résoudre des équations différentielles. À partir des séries entières, on peut définir des séries formelles pour lesquelles la variable est une indéterminée. On peut alors utiliser les outils des séries entières sans avoir à s'inquiéter de la notion de convergence. Objectifs
Les objectifs de cette leçon sont:
Savoir calculer un rayon de convergence. Savoir faire un développement en série entière. Connaitre les développements en séries entières des fonctions usuelles. Modifier ces objectifs
Niveau et prérequis conseillés
Leçon de niveau 15. Les prérequis conseillés sont:
Série numérique
Suites et séries de fonctions: notion de convergence
Modifier ces prérequis
Référents
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Séries Numériques, Suites Et Séries De Fonctions, Séries Entières
Une fonction holomorphe (dérivable au sens complexe) est analytique, ce qui donne une place de choix aux séries entières en analyse complexe. EN RÉSUMÉ Les séries entières, qui tirent leur nom du fait que seules des puissances entières de la variable entrent en jeu, occupent une place à part dans l'univers infini des séries. La question centrale de l'étude des séries étant leur convergence, l'existence d'un rayon de convergence (calculable par de nombreuses méthodes) pour les séries entières en fait un outil très précieux. En outre, les séries entières permettent de représenter « simplement » les fonctions usuelles, ce qui a ouvert le champ très fertile de l'étude des fonctions analytiques.
Calculer le rayon de convergence d'une série entière
Pour calculer le rayon de convergence d'une série entière, on peut
utiliser la règle de d'Alembert (uniquement dans ces cas pratiques); si la série entière est de la forme $\sum_n a_n z^{pn}$, on pose
$u_{n}=a_n z^{pn}$ et on étudie la limite de $|u_{n+1}/u_n|$. La série va converger si cette limite est inférieure stricte à 1, diverger si la limite
est supérieure stricte à 1 ( voir cet exercice). trouver un encadrement ou un équivalent du terme général ( voir cet exercice). Démontrer qu'une fonction est développable en série entière
Pour démontrer qu'une fonction est développable en série entière, on peut
pour les exemples pratiques, utiliser les développements en série entière usuels et les règles de sommation et de produits ( voir cet exercice);
pour les exercices théoriques, utiliser une formule de Taylor ( voir cet exercice).
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