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Aperçu des sections Objectifs Objectifs L'élève
doit être capable de: calculer
l'image d'un nombre, les antécédents d'un nombre par une fonction
définie par une formule algébrique simple déterminer
graphiquement le sens de variation d'une fonction Pré-requis Pré-requis Repère orthonormé Placer un point dans un repère Variations d'une fonction Propriétés d'une racine carrée Cours Exercices Annexes Annexes Page 37: §1 Fonction carrée et §4 Fonctions inverse Page 38: §2 Fonction racine carrée Page 52 exercice 72: §3 Fonction cube
Exercice Fonction Carré Seconde
Chargement de l'audio en cours 1. Fonction carré, fonction racine carrée P. 120-121
La fonction carré est la fonction qui, à tout réel associe le réel
Sa courbe représentative est une parabole. 1. Pour tout réel,
2. La fonction carré est paire. 3. La fonction carré est strictement
décroissante sur et strictement
croissante sur
Remarque
La fonction carré est paire donc sa courbe représentative admet un axe de symétrie. 1. Le produit de deux nombres réels de même signe est positif donc est positif. 2. Pour tout, donc l'image de est égale à l'image de donc la fonction carré est paire. 3. Voir exercice p. 133
Démonstration au programme
Énoncé
Compléter avec, ou sans calculatrice. 1. 2. 3. Convexité - Fonction convexe concave dérivée seconde. 4. 5. Méthode
On utilise les variations de la fonction carré:
Si, car la fonction est strictement
décroissante sur, l'ordre change. croissante sur, l'ordre est conservé. 3. car la fonction est paire. Pour s'entraîner: exercices 20; 28 et 29 p. 131
Pour tout réel positif, la racine carrée de est le nombre positif, noté, tel que
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel positif associe le réel
Les propriétés de calculs sur les racines carrées sont indiquées dans la partie nombres et calculs page 19.
Exercice Fonction Carré Plongeant
Démontrez-le. $1$. En déduire que pour tout réel $x>0$, $ \ln x \leqslant x-1$. 7:
Étudier la convexité d'une fonction - logarithme
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par: $f(x) = (\ln
(x))^2$. Étudier la convexité de $f$ et préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe
représentative
8:
Utiliser la convexité d'une fonction pour obtenir une inégalité -
Nathan Hyperbole
$g$ est la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa
courbe
représentative dans un repère. Rappeler la convexité de la fonction $g$. Exercice fonction carré seconde. Déterminer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0 ~;~ +\infty[$, puis le nombre dérivé
$g'(1)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse
Utiliser les réponses aux questions précédentes
pour démontrer que pour tout réel $x$ de $[0 ~;~ +\infty[$, on a $\sqrt{x} \leqslant
\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.
Exercice Fonction Carré Pdf
Cinquième chapitre: la montée en compétence du consultant. échanger biens et services innovants dans la ville de demain 5eme Ce document est extrait de la base de données - Sapili méga
Exercice Fonction Carré Bleu
4:
Convexité et lecture graphique dérivée
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$. On donne dans le repère ci-dessous, la courbe $\mathscr{C'}$ représentative
de la fonction $f'$, dérivée de $f$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$. Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$ et préciser les abscisses des
points d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ représentative
de la fonction $f$. 5:
Inégalité et convexité - exponentielle
On note $f$ la fonction exponentielle et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un
La fonction exponentielle est-elle convexe ou concave sur $\mathbb{R}$? Démontrez-le. Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse
$0$. Exercice fonction carré bleu. En déduire que pour tout réel $x$, $ \mathrm{e}^x \geqslant 1 + x$. 6:
Inégalité et convexité - logarithme
On note $f$ la fonction logarithme népérien et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un
La fonction logarithme népérien est-elle convexe ou concave sur $]0~;~+\infty[$?
Exercice Fonction Carre.Com
1. On a: et, pour tout,
2. La fonction racine carrée est strictement croissante
sur
3. Pour tous réels positifs et,
De plus, si alors
1. L'équation possède une unique solution donc
Soit Par définition, Mais si, alors donc
Donc, par contraposée: si, alors
2. 134
3. Voir la partie Nombres et calculs p. 19. Démontrer l'implication revient à démontrer sa contraposée
1. Les écritures suivantes ont-elles un sens? Justifier la réponse et simplifier si cela est possible. a.
b.
c.
d.
e.
2. Compléter sans calculatrice avec ou. 1. Cours : Séquence 3: Fonctions carrée, racine carrée, cube et inverse. La fonction racine carrée est définie sur Donc, si, n'existe pas. est le nombre positif tel que c'est
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur
donc si, alors l'ordre est conservé. 1. a.
b. Impossible car
e. Impossible car
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur donc:
a. car
b. car
c. car
Pour s'entraîner: exercices 21 p. 131, 50 et 51 p. 133
Exercice
1:
Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)\mathrm{e}^x$. Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$. Étudier le signe de $f''(x)$ selon les valeurs de $x$. En déduire les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave. Préciser les points d'inflexion de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ dans un
repère. 2:
Dans chaque cas, $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$. Étudier le signe de $f''(x)$ sur
$I$. Exercice 16 sur les fonctions (seconde). En déduire la convexité de $f$ et les abscisses des points d'inflexion. $f''(x) = \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{(x-1)^3}$ $\rm I =]1~;~+\infty[$
$f''(x) = (-0, 08x+0, 4)\mathrm{e}^{0, 2x-3}$ $\rm I = \mathbb{R}$
$f''(x) = (4x-10)\sqrt{5x+2}$ $\rm I =]0~;~+\infty[$
3:
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$. Déterminer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$. Dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire la convexité de la
fonction $f$.