ce qui donne b = − 3 b= - 3 et a = 1 a=1
On a donc f ( x) = ( x − 1) ( x 2 + x − 3) f\left(x\right)=\left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)
Trouver les racines de f f, c'est résoudre l'équation f ( x) = 0 f\left(x\right)=0. ( x − 1) ( x 2 + x − 3) = 0 \left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 est une équation "produit nul":
( x − 1) ( x 2 + x − 3) = 0 ⇔ x − 1 = 0 \left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 \Leftrightarrow x - 1=0 ou x 2 + x − 3 = 0 x^{2}+x - 3=0
La première équation a pour solution x = 1 x=1 (ce qui confirme la réponse de la question 1. ) et la seconde admet comme solutions:
x 1 = − 1 + 1 3 2 x_{1} = \frac{ - 1+\sqrt{13}}{2}
x 2 = − 1 − 1 3 2 x_{2} = \frac{ - 1 - \sqrt{13}}{2} (voir détail résolution).
Fonction polynôme de degré 3 exercice corrige des failles. f f admet donc 3 racines: 1, − 1 + 1 3 2, − 1 − 1 3 2 1, \frac{ - 1+\sqrt{13}}{2}, \frac{ - 1 - \sqrt{13}}{2}.