Il peut tout aussi bien s'exprimer à partir de la transformation de Laplace, et on obtient alors l'énoncé suivant:
(1) Théorème de Paley-Wiener:
Pour qu'une fonction entière soit la transformée de Laplace d'une fonction indéfiniment dérivable sur de support inclus dans la "boule" fermée de centre et de rayon, notée, il faut et il suffit que pour tout entier, il existe une constante tels que pour tout appartenant à,
où désigne le produit scalaire usuel dans de et de. (2) Théorème de Paley-Wiener-Schwartz:
Pour qu'une fonction entière soit la transformée de Laplace d'une distribution sur de support inclus dans, il faut et il suffit qu'il existe un entier et une constante tels que pour tout appartenant à,. Tableau : Transformées de Laplace - AlloSchool. Un théorème dû à Jacques-Louis Lions donne d'autres informations sur le support d'une distribution à partir de sa transformée de Laplace. Dans le cas d'une seule variable, il prend la forme suivante (voir Inversion):
Pour qu'une fonction holomorphe sur soit la transformée de Laplace d'une distribution sur à support dans la demi-droite, il faut et il suffit que soit majorée, lorsque le réel est assez grand, par un polynôme en.
2. Propriétés
1. Linéarité
\[f(t)=f_1(t)+f_2(t)\quad \rightarrow \quad F(p)=F_1(p)+F_2(p)\]
1. Transformation bilatérale de Laplace — Wikipédia. Dérivation et Intégration
\[f'(t)\quad \rightarrow \quad F'(p)=p~F(p)\]
Le calcul rigoureux (dérivation sous le signe \(\int\) conduit à: \[F'(p)~=~p~F(p)+f(0)\]
En pratique, les fonctions que nous considérons n'apparaissent qu'à l'instant \(t\) et sont supposées nulles pour \(t<0\) avec \(f(0)=0\): \[f'(t)\quad \rightarrow \quad F'(p)=p~F(p)\]
Inversement, une intégration équivaut à une multiplication par \(1/p\) de l'image. En effectuant une deuxième dérivation: \[F''(p) = p~F'(p)-f'(0)\]
Et comme \(f'(0)=0\), suivant l'hypothèse précédente: \[F''(p)=p^2~F(p)\]
1. 3. Théorème des valeurs initiale et finale
Théorème de la valeur initiale: \[f(0) = \lim_{p~\to~\infty}\{p~F(p)\}\]
Théorème de la valeur finale: \[f(+\infty) = \lim_{p~\to~0}\{p~F(p)\}\]
1. Détermination de l'original
La fonction image se présente généralement comme le quotient de deux polynômes, le degré du dénominateur étant supérieur à celui du numérateur.
En analyse, la transformation bilatérale de Laplace est la forme la plus générale de la transformation de Laplace, dans laquelle l' intégration se fait à partir de moins l'infini plutôt qu'à partir de zéro. Transformée de laplace tableau francais. Définition [ modifier | modifier le code]
La transformée bilatérale de Laplace d'une fonction de la variable réelle est la fonction de la variable complexe définie par:
Cette intégrale converge pour, c'est-à-dire pour appartenant à une bande de convergence dans le plan complexe (au lieu de, désignant alors l'abscisse de convergence, dans le cas de la transformation monolatérale). De façon précise, dans le cadre de la théorie des distributions, cette transformée « converge » pour toutes les valeurs de pour lesquelles (en notation abusive) est une distribution tempérée et admet donc une transformation de Fourier. Propriétés élémentaires [ modifier | modifier le code]
Les propriétés élémentaires (injectivité, linéarité, etc. ) sont identiques à celles de la transformation monolatérale de Laplace.
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Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math, vol. 34, 1987, p. 805-820
(en) Alan V. Oppenheim (en) et Ronald W. Schafer (en), Discrete-Time Signal Processing, Prentice-Hall, 2007, 1132 p. ( ISBN 978-0-13-206709-6 et 0-13-206709-9)
Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965 ( ISBN 2-7056-5213-2)
Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1966, 418 p. Transformée de laplace tableau abstrait. ( ISBN 2-7056-5551-4)
Articles connexes [ modifier | modifier le code]
Transformation de Laplace
Distribution tempérée
Hyperfonction
Portail de l'analyse
Coefficients des séries de Fourier
3. Forme réelle
La fonction (périodique) à décomposer: \[f(x)~=~a_0~+~\sum_{n=1}^{n=\infty} a_n\cos n\omega x~+~\sum_{n=1}^{n=\infty} b_n\sin n\omega x\]
Les expressions des coefficients (réels): \[\begin{aligned} &a_0~=~\frac{1}{T} ~\int_0^Tf(t)~dt\\ &a_n~=~\frac{2}{T}~\int_0^T~f(t)\cos n\omega t~dt\\ &b_n~=~\frac{2}{T}~\int_0^T~f(t)\sin n\omega t~dt\end{aligned}\]
3. Forme complexe
La fonction (périodique) à décomposer: \[f(x)~=~\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} c_n~e^{jn\omega x}\]
Les expressions des coefficients (complexes): \[c_n~=~\frac{a_n+jb_n}{2}~=~\frac{1}{T}\int_0^T f(t)~e^{-jn\omega t}~dt\]
1. Racines simples au dénominateur
\[F(p)~=~\frac{N(p)}{(p-p_1)~(p-p_2)\cdots(p-p_n)}\]
On a alors: \[\begin{aligned} F(p)~&=~\sum_{j=1}^n~\frac{C_j}{p-p_j}\\ C_j~&=~\lim_{p~\to~p_j}\frac{N(p)~(p-p_j)}{D(p)}\end{aligned}\]
Et par suite: \[f(t)~=~\sum_{j=1}^n~C_j~e^{p_j~t}\]
1. Racines multiples au dénominateur
Supposons que l'un de ces types de facteurs soit de la forme \((p-p_q)^m\), donc d'ordre \(m\). Transformée de Laplace. Le développement se présentera alors sous la forme: \[F(p)~=~\frac{C_m}{(p-p_q)^m}~+~\frac{C_{m-1}}{(p-p_q)^{m-1}}~+~\cdots ~+~\frac{C_1}{(p-p_1)}~+~\cdots\]
1. 4.
Extraits du catalogue
on nées, rvotre société o destinés à rester appa- rents. Nous proposons une très large gamme férents. Notre labora- produits finis: dimen- sions, résistance, capil- BLOC TETRIX BLOC APPARENT A EMBOITEMENT ET POSE A SEC ESTHETIQUE; *peci pient PCCTW^IUCC, ECONOMIQUE: l'enta ou b pàmc. RAPIDE:mi* en ojum fur WrtWpv PRATIQUE: vmfo**e Je iip*eiBloc tetrix prix paris. prt>*Jt»x»eme* k> amuiifev i/jttentvei f^i sut V fjf d **jp* de tfco JfMiaS J ft*f jçcvrenK il en rfmhe b reveujft de ràér^i «lie; aa^wrie **
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Blocs apparents en béton | Tetrix
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Caractéristiques principales
Blocs creux en béton de granulats courants, à parement fini. Emboîtement et joints préformés quatre faces. Utilisables pour murs porteurs ou non, intérieurs ou extérieurs. Fiche technique Tetrix
Couleur et finition
Couleur:; gris; rouge; gris, rougeâtre ou jaunâtre (autres teintes sur commande)
Aspect:
à parement fini
Dimensions
Longueur:
(L x l x h): 40 x 20 x 20 cm. Épaisseur:
entre 11 cm et 20 cm
Divers
Accessoires:
about, angle, demi, chaînage horizontal. Blocs de parement ELCO coffrants de 20 - Blocstar. Mise en œuvre
Mise en oeuvre:
par pose à sec (premier rang posé sur mortier) et remplissage avec béton. Autres caractéristiques techniques du produit
Type de bloc:
bloc chaînage horizontal; bloc chaînage vertical; bloc tableau; bloc/ poteau d'angle
Famille d'ouvrage
Bureau-Administration
Commerce
Culture-Sport-Loisirs
Enseignement
Hôtel-Restauration
Industrie-Stockage
Logement collectif
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Santé
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