Propriété:
La somme des probabilités d'une loi de probabilité de la variable aléatoire X X est égale à 1. On note aussi:
∑ i = 1 p P ( X = x i) = 1 \sum_{i=1}^p P(X=x_i)=1
3. Espérance d'une variable aléatoire. On appelle espérance mathématique de X X le nombre noté E ( X) E(X) et défini par
E ( X) = x 1 × p 1 + x 2 × p 2 + … + x n × p n = ∑ i = 1 n x i p i E(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \ldots + x_n\times p_n = \sum_{i=1}^n x_i p_i
Dans l'exemple précédent, on peut calculer l'espérance mathématique. E ( X) = − 3 × 3 9 + 1 × 4 9 + 10 × 2 9 E(X)=-3\times\frac{3}{9} + 1\times\frac{4}{9} + 10\times\frac{2}{9}
E ( X) = − 9 + 4 + 20 9 E(X)=\frac{-9+4+20}{9}
E ( X) = 5 3 E(X)=\frac{5}{3}
On a une espérance mathématique égale à 5 3 \frac{5}{3}, soit environ 1, 66 €. E ( X) E(X) a la même unité que la variable aléatoire X X. Dans l'exemple précédent, il s'agit d'un gain moyen de 1, 66 €. Les probabilités 1ère page. On peut aussi voir que si l'espérance mathématique est positive, le jeu est gagnant, et si elle est négative, le jeu est perdant.
Les Probabilités 1Ere Episode
Formules de probabilités: L'union et l'intersection
= + –
Ces formules se visualisent à l'aide du diagramme de Venn qui également utilisé sur les ensembles dans le programme de maths de seconde:
En foncée, la partie représentant l'intersection donc A∩B. Exemple type sur les intersections et les unions pour illustrer:
Dans un collège de 450 élèves, on sait que 200 élèves prennent des cours particuliers de maths, 150 font des cours particuliers de français et 50 font les deux. Les probabilités en première : cours et exercices. On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il fasse des cours particuliers en maths ou des cours particuliers en français? Réponse: la réponse n'est pas 400/450! 200 élèves font des cours particuliers en maths mais ils peuvent aussi faire des cours particuliers en français: aucune contre indication. Sinon on aurait eu: « 200 élèves font uniquement des cours particuliers de maths»
Idem pour les 150 qui prennent des cours de français, certains prennent des cours de maths. La seule chose dont on est sûr: 50 élèves prennent les deux matières donc:
• 200 – 50 = 150 élèves prennent uniquement des cours de maths
• 150 – 50 = 100 élèves prennent uniquement des cours de français
Nombre d'élèves qui font des cours de maths ou des cours de français:
Ceux qui font que des cours de maths + ceux qui font que des cours de français + ceux qui font les deux.
E ( Y) = E ( 3 X − 5) = 3 E ( X) − 5 = 15 3 − 5 = 0 E(Y)=E(3X-5)=3E(X)-5=\frac{15}{3}-5=0
4. Variance et écart-type. On appelle variance de X X le nombre noté V ( X) V(X) et défini par
V ( X) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + … + x n 2 p n − E ( X) 2 V(X)=x_1^2p_1 +x_2^2p_2+\ldots + x_n^2p_n -E(X)^2
On appelle écart-type de X X le nombre noté σ ( X) \sigma(X) et défini par
σ ( X) = V ( X) \sigma (X)=\sqrt{V(X)}
Remarque:
On peut aussi voir la variance d'après la formule suivante:
V ( X) = E ( X 2) − E ( X) 2 V(X)=E(X^2)-E(X)^2
La variance et l'écart-type sont des caractéristiques de dispersion, indiquant comment les valeurs sont dispersées ou non autour de l'espérance. Cours sur les probabilités - première. Dans notre exemple,
V ( X) = ( − 3) 2 × 3 9 + 1 2 × 4 9 + 1 0 2 × 2 9 − 25 9 = 206 9 V(X)=(-3)^2\times\frac{3}{9} + 1^2\times\frac{4}{9} + 10^2\times\frac{2}{9} - \frac{25}{9}=\frac{206}{9}
σ ( X) = 206 3 \sigma (X)=\frac{\sqrt{206}}{3}
V ( a X + b) = a 2 V ( X) V(aX+b)=a^2V(X)
σ ( a X + B) = ∣ a ∣ σ ( X) \sigma (aX+B)=\vert a\vert \sigma (X)
Toutes nos vidéos sur probabilités en 1ère s
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