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International Afghanistan L'Etat islamique a revendiqué les attaques qui ont visé trois minibus dans le nord du pays. Une mosquée de Kaboul a aussi été prise pour cible. Paroles chanson jennifer sur le fil movie. Au moins douze personnes ont été tuées en Afghanistan, mercredi 25 mai, dans quatre attentats à la bombe qui ont visé trois minibus à Mazar-i-Sharif (nord) et une mosquée dans la capitale Kaboul, ont annoncé les autorités. Le groupe Etat islamique a revendiqué les attentats à Mazar-i-Sharif dans la soirée. Le nombre d'attentats a diminué dans le pays depuis que les talibans ont pris le pouvoir en août, mais une série d'attaques meurtrières à la bombe, dans lesquelles des dizaines de personnes ont trouvé la mort, a frappé le pays fin avril, pendant le mois saint du ramadan. Lire aussi: Article réservé à nos abonnés Les talibans afghans, défiés par l'EI, se fâchent avec leurs anciens protecteurs pakistanais A Mazar-i-Sharif, la grande ville du Nord, au moins dix personnes sont mortes et une quinzaine d'autres ont été blessées, selon la police et les services de santé.
$$
Théorème: Soit $f$ une fonction causale et posons $g(t)=\int_0^t f(x)dx$. Alors, pour tout $p>\max(p_c, 0)$, on a
$$\mathcal L(g)(p)=\frac 1p\mathcal L(f)(p). $$
Valeurs initiales et valeurs finales
Théorème:
Soit $f$ une fonction causale telle que $f$ admette une limite en $+\infty$. Alors
$$\lim_{p\to 0}pF(p)=\lim_{t\to+\infty}f(t). Résumé de cours : transformation de Laplace. $$
Soit $f$ une fonction causale. Alors
$$\lim_{p\to +\infty}pF(p)=f(0^+). $$
Table de transformées de Laplace usuelles
$$\begin{array}{c|c}
f(t)&\mathcal L(f)( p) \\
\mathcal U(t)&\frac 1p\\
e^{at}\mathcal U(t), \ a\in\mathbb R&\frac 1{p-a}\\
t^n\mathcal U(t), \ n\in\mathbb N&\frac{n! }{p^{n+1}}\\
t^ne^{at}\mathcal U(t), \ n\in\mathbb N, \ a\in\mathbb R&\frac{n!
Par exemple, pour le calcul de l'inverse de la transformée de Laplace d'une fraction rationnelle, on décompose, et on cherche dans les tables. Formulaire de Mathématiques : Transformée de Laplace. On dispose aussi du théorème suivant pour inverser la transformée de Laplace. Théorème (formule d'inversion de Bromvitch): Soit $F(z)=F(x+iy)$, analytique pour $x>x_0$, une fonction sommable en $y$, pour tout $x>x_0$. Alors $F$ est une transformée de Laplace, dont l'original est donné par:
Cette dernière intégrale se calcule souvent en utilisant le théorème des résidus.
$$
La transformée de Laplace est injective: si $\mathcal L(f)=\mathcal L(g)$ au voisinage de l'infini, alors $f=g$. En particulier,
si $F$ est fixée, il existe au plus une fonction $f$ telle que $\mathcal L(f)=F$. $f$ s'appelle l' original de $F$. Effet d'une translation: Soit $a>0$ et $g(t)=f(t-a)$. Alors pour tout $p>p_c$,
$$\mathcal L(g)(p)=e^{-ap}\mathcal L(f)(p). Transformation de Laplace-Carson. $$
Effet de la multiplication par une exponentielle: Si $g(t)=e^{at}f(t)$, avec $a\in\mathbb R$, alors pour tout $p>p_c+a$,
$$\mathcal L(g)(p)=\mathcal L(f)( p-a). $$
Régularité d'une transformée de Laplace: $\mathcal L(f)$ est de classe $C^\infty$ sur $]p_c, +\infty[$ et
pour tout $p>p_c$,
$$\mathcal L(f)^{(n)}(p)=\mathcal L( (-t)^n f)(p). $$
Comportement en l'infini: On a $\lim_{p\to+\infty}\mathcal L(f)(p)=0$. Dérivation et intégration
Théorème: Soit $f$ une fonction causale de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$. Alors, pour tout $p>p_c$,
$$\mathcal L(f')(p)=p\mathcal L(f)( p)-f(0^+). $$
On peut itérer ce résultat, et si $f$ est de classe $C^n$ sur $]0, +\infty[$, alors on a
$$\mathcal L(f^{(n)}(p)=p^n \mathcal L(f)(p)-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+).