- comme nous le démontrerons, l'ordre de composition n'a pas d'importance. - cette décomposition en rotation et homothétie est unique et appelée
forme réduite de s. Toute similitude directe, différente d'une translation, s'écrivant de façon unique comme la composée d'une rotation et d'une homothétie: elle est donc entièrement définie par la donnée de son centre, de
son rapport et de son
angle.. On les appelle les
éléments caractéristiques de la similitude directe.. Similitude directe et nombre complexe pdf full. Et l'on notera s de la sorte: s (; k; 0)
Soit M(z) d'image M'(z') par s. Si a = 1: z' - z = b donc: avec d'affixe b.
s est donc la translation de vecteur
Remarque: si b = 0, alors s est l'identité et tout point est alors invariant par s. - si a ≠ 1 alors M(z) invariant par s car: a ≠ 1
s admet donc un unique point invariant d'affixe: M'(z') image de M(z) par s est donc équivalent à:
* Or, l'écriture complexe de h homothétie de centre et de rapport lal est
* Et l'écriture complexe de r rotation de centre et d'angle arg a est
L'écriture de h o r est donc:
L'écriture de r o h est donc:
Dans les deux cas, il s'agit de l'écriture de s, qui est donc égale à h o r et r o h.
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7/ Composition de similitudes directes
Soit f similitude directe de rapport k et d'angle 0
et soit g similitude directe de rapport k' et d'angle 0 '. Alors, f o g et g o f sont des similitudes directes de rapport kk' et d'angle 0 + 0 '. Rang (algèbre linéaire) — Wikipédia. Soit f d'écriture complexe: z'= az +b avec a = kei0 ≠ 0
Et soit g d'écriture complexe: z' = cz + d avec c = k' e i0 ≠ 0
Alors: f o g a pour écriture: z' = a (cz + d) + b = (ac)a + (ad + b)
L'écriture de f o g est du type: z' = Az + B, avec A = ac = kei0 k'ei0 = kk'ei( 0 + 0 ') ≠ 0
Donc, f o g est une similitude directe de rapport: lAl = kk' et d'angle arg A = 0 + 0 '. g o f a pour écriture: z' = c(az + b) + d = (ac)z + (cb + d)
Donc, g o f est également une similitude directe de rapport kk' et d'angle 0 + 0 '. Attention! en général f o g et g o f ne sont as égales
En effet:
f o g a pour écriture: g o f a pour écriture: Donc, à moins que ad + b soit égal à cb + d, f o g et g o f ne sont p
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similitude directe toute similitude qui conserve les angles orientés. Une isométrie directe est appelée
un déplacement. L'identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales
sont des similitudes directes. similitude indirecte toute similitude qui transforme tout angle en son opposé. Une isométrie indirecte est appelée un
anti-déplacement. Les réflexions sont des similitudes indirectes
2/ Angle d'une similitude directe
Propriété:
Si s est une similitude directe alors:
quels que soient les points distincts A et B du plan, d'images respectives A' et B',
l'angle est constant. Similitudes directes - Cours maths Terminale - Tout savoir sur les similitudes directes. Cet angle est appelé
angle de la similitude. Démonstration:
Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d'images respectives A', B', C' et D'. Or, s similitude directe conserve les angles orientés,
donc: On a donc:
L'angle entre un vecteur et son vecteur image est bien constant. - les translations, l'identité et les homothéties de rapport k >0 sont des similitudes d'angle nul. - les homothéties de rapport k et les symétries centrales sont des similitudes d'angle.
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Notes et références [ modifier | modifier le code]
↑ (en) G. Marsaglia et G. P. H. Styan, « When does rank( A + B) = rank( A) + rank( B)? », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 15, 1972, p. 451-452 ( lire en ligne). ↑ (en) M. Fazel, Matrix rank minimization with applications: PhD Thesis. Department of Electrical Engineering, Université Stanford, 2002. ↑ Cette propriété intervient dans les problèmes où l'on cherche à obtenir des objets parcimonieux par minimisation du rang (en compression d'images par exemple). Le rang étant une fonction à valeurs entières, donc difficile à minimiser, on préfère parfois considérer l'approximation convexe du problème qui consiste à y minimiser la norme nucléaire. ↑ Définition conforme à N. Bourbaki, Algèbre, partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II. 59, définition 7. ↑ Voir N. 59, prop. Similitude directe et nombre complexe pdf pour. 10 et alinéa suivant la démonstration de cette proposition. Articles connexes [ modifier | modifier le code]
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On appelle rang de (par rapport à) la dimension du sous-espace engendré par les colonnes de dans muni de sa structure de -espace vectoriel à droite [ 4]. On prouve que le rang de est aussi égal à la dimension du sous-espace engendré par les lignes de dans muni de sa structure de K-espace vectoriel à gauche [ 5]. Considérons par exemple un corps non commutatif K et la matrice, où et sont deux éléments de qui ne commutent pas (ces éléments sont donc non nuls). Les deux lignes de cette matrice sont linéairement liées dans l'espace vectoriel à gauche, car. De même, les deux colonnes sont liées dans l'espace vectoriel à droite, car. Le rang de la matrice est donc égal à 1. En revanche, les deux colonnes ne sont pas liées dans l'espace vectoriel à gauche. En effet, soient et des scalaires tels que. Alors (premières composantes), d'où (secondes composantes). Puisque et sont supposés ne pas commuter, ceci entraîne (multiplier par pour obtenir une contradiction) et notre résultat donne. Nous avons ainsi prouvé que les deux colonnes de la matrice sont linéairement indépendantes dans l'espace vectoriel à gauche.
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