Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé de cours et méthodes – Intégration sur un intervalle quelconque
1. Comment prouver qu'une intégrale est convergente? ⚠️ ⚠️ Toujours commencer par l'étude de la continuité de. M1. Par utilisation des intégrales impropres au programme (en général par comparaison par inégalité ou par équivalence avec M3):
l'intégrale converge ssi. si, les intégrales et convergent ssi. l'intégrale converge. si, l'intégrale converge ssi. BERTRAND : Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, vol. I, 1864 et vol. II, 1870 - ÉDITIONS JACQUES GABAY. M2. Par somme ou produit par un scalaire:
Si et sont continues par morceaux sur l'intervalle de bornes et et si est un scalaire, lorsque les intégrales et convergent, les intégrales et convergent. M3. Dans le cas de fonctions à valeurs positives ou nulles par utilisation des relations de comparaison
Si et sont continues par morceaux sur à valeurs positives ou nulles,
a) si et si l'intégrale est convergente, alors l'intégrale est convergente. b) si, l'intégrale est convergente ssi l'intégrale est convergente. M4. En démontrant que l'intégrale est absolument convergente, c'est-à-dire en démontrant que l'intégrale est convergente.
Intégrale De Bertrand Francais
D'autre part |u n | = 1
1 − ln n n ∼
Alors la série de terme général |u n | diverge par comparaison à la série harmonique. Mais la suite ( |u n |) n 1 est une suite décroissante qui converge vers 0. Donc la série
de terme général u n converge d'après le critère de Leibniz. 4. 2 Exercices d'entraînement 75
n) converge vers 0, on peut utiliser le développement limité
au voisinage de 0 de la fonction x → ln(1+x). On a donc u n = ( − 1) n
n converge d'après le critère de Leibniz. D'autre
part 1
comparaison à la série harmonique. Il en résulte que la série de terme général u n
diverge, et ceci bien que u n ∼
n →+∞ ( − 1) n /√
On a donc l'exemple de deux séries dont les termes généraux sont équivalents mais
qui ne sont pas de même nature. 4. MATHSCLIC : INTÉGRALE DE BERTRAND - YouTube. 2 EXERCICES D'ENTRAÎNEMENT
Exercice 4. 19
CCP PC 2006
Pour tout n∈ N ∗ on pose u n = sin n(n+1) 1
cos n 1 cos n+1 1. 1) Montrer que la série de terme général u n converge. 2) Calculer
et la série converge par comparaison à une série de Riemann. 2) Pour n ∈ N ∗, on a
La série de terme général u n est donc une série télescopique, et puisque la suite
tan1
converge vers 0, on obtient
n=1
u n =tan 1.
Solution
Si,. Si, admet une limite finie (quand) si et seulement si, et cette limite vaut alors. Remarque
Soit. On a si et seulement si les deux limites et existent et si leur somme est égale à.
si et seulement si pour toutes fonctions telles que et (où est par exemple ou), on a. Il ne suffit donc pas, pour que, qu'il existe deux fonctions telles que et et telles que. Par exemple, pour toute fonction impaire, mais cela n'implique aucunement que converge (penser à la fonction, dont la primitive n'a pas de limite en l'infini, et pour laquelle même n'a pas de limite quand puisqu'elle vaut par exemple pour et pour). Premières propriétés [ modifier | modifier le wikicode]
Il y a linéarité des intégrales généralisées convergentes. Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite. Exercice corrigé : Séries de Bertrand - Progresser-en-maths. Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l'on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer:
est convergente. Il suffit de remarquer que le prolongement par continuité en de est:
Calcul explicite [ modifier | modifier le wikicode]
Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale impropre en, d'expliciter la fonction par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand tend vers.
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