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Un produit scalaire canonique est un produit scalaire qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l' espace vectoriel est présenté. On parle également de produit scalaire naturel ou usuel. Sommaire
1 Dans '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'
2 Dans '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"'
3 Dans des espaces de fonctions
4 Dans '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'
5 Articles connexes
Dans [ modifier | modifier le code]
On appelle produit scalaire canonique de l'application qui, aux vecteurs et de, associe la quantité:. Sur, on considère le produit scalaire hermitien canonique donné par la formule:. Dans des espaces de fonctions [ modifier | modifier le code]
Dans certains espaces de fonctions (fonctions continues sur un segment ou fonctions de carré sommable, par exemple), le produit scalaire canonique est donné par la formule:. Dans l'espace des matrices carrées de dimension à coefficients réels, le produit scalaire usuel est: où désigne la trace. Articles connexes [ modifier | modifier le code]
Base canonique
Base orthonormée
Portail de l'algèbre
Produit Scalaire Canonique Francais
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par alexyuc 14-05-12 à 20:16 Bonjour,
J'ai un souci de démarrage avec un exercice sur les espaces vectoriels euclidiens, concernant un produit scalaire canonique. L'énoncé dit: Soit \mathbb{R}^n le \mathbb{R} euclidien muni du produit scalaire canonique. 1) Montrer que,
2) A quelle condition cette inégalité est-elle une égalité? J'ai pensé au fait que:
A part ça, je n'ai pas d'idées sur comment montrer une éventuelle inégalité entre et
Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît? Merci beaucoup
Alex
Posté par carpediem re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:21 salut
1/ inégalité de Cauchy-Schwarz...
2/ une évidente égalité....
Posté par MatheuxMatou re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:24 bonjour... cela fait un peu penser à une démonstration concernant l'expression de la variance d'une série statistique... non? pose
on a
et quand tu développes, tu obtiens ce que tu cherches
Posté par MatheuxMatou re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:25 tiens bonsoir Capediem
Posté par MatheuxMatou re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:25 (la somme commence à 1, pas à 0)
Posté par carpediem re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:29 salut MM.... bien vu l'idée de la variance la formule de Koenig....
Posté par alexyuc re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:36 En effet, l'égalité de Cauchy Schwarz est dans mon cours.
Produit Scalaire Canoniques
Montrer, en utilisant la question précédente, que si $x, y\in E$ et $r\in\mtq$, on a $(rx, y)=r(x, y)$. En utilisant un argument de continuité,
montrer que c'est encore vrai pour $r\in\mtr$. Conclure! Enoncé Soient $(E, \langle. \rangle)$ un espace préhilbertien réel, $\|. \|$ la norme associée au produit scalaire,
$u_1, \dots, u_n$ des éléments de $E$ et $C>0$. On suppose que:
$$\forall (\veps_1, \dots, \veps_n)\in\{-1, 1\}^n, \ \left\|\sum_{i=1}^n \veps_iu_i\right\|\leq C. $$
Montrer que $\sum_{i=1}^n \|u_i\|^2\leq C^2. $
Géométrie
Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que, dans un triangle $ABC$, les trois bissectrices intérieures sont concourantes et que le point d'intersection est le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. Pour cela, on considère $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension égale à $2$, $D$ et $D'$ deux droites distinctes de $E$, $u$ et $v$ des vecteurs directeurs unitaires de respectivement $D$ et $D'$. On pose $w_1=u+v$ et $w_2=u-v$, $D_1$ la droite dirigée par $w_1$ et $D_2$ la droite dirigée par $w_2$.
Produit Scalaire Canonique Pour
Présentation élémentaire dans le plan
Dans le plan usuel, pour lequel on a la notion d'orthogonalité, on considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$. On choisit $\overrightarrow{AB}$ un représentant de $\vec u$, et $\overrightarrow{CD}$ un représentant de $\vec v$. Le produit scalaire de $\vec u$ et de $\vec v$, noté $\vec u\cdot \vec v$ est alors défini de la façon suivante:
soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, et $K$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$. On a
$$\vec u\cdot \vec v=\overline{AB}\times\overline{HK}$$
c'est-à-dire $\vec u\cdot \vec v=AB\times HK$ si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{HK}$ ont même sens,
$\vec u\cdot \vec v=-AB\times HK$ dans le cas contraire. Le produit scalaire de deux vecteurs est donc un nombre (on dit encore un scalaire, par opposition à un vecteur, ce qui explique
le nom de produit scalaire). Il vérifie les propriétés suivantes:
il est commutatif: $\vec u\cdot \vec v=\vec v\cdot \vec u$;
il est distributif par rapport à l'addition de vecteurs: $\vec u\cdot (\vec v+\vec w)=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w$;
il vérifie, pour tout réel $\lambda$ et tout vecteur $\vec u$, $(\lambda \vec u)\cdot \vec v=\vec u\cdot (\lambda \vec v)=\lambda (\vec u\cdot \vec c)$.
Produit Scalaire Canonique Au
Enoncé Il est bien connu que si $E$ est un espace préhilbertien muni de la norme $\|. \|$, alors l'identité de la médiane
(ou du parallélogramme) est vérifiée, à savoir: pour tous $x, y$ de $E$, on a:
$$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2. $$
L'objectif de cet exercice est de montrer une sorte de réciproque à cette propriété, à savoir le résultat suivant: si $E$ est
un espace vectoriel normé réel dont la norme vérifie l'identité de la médiane, alors $E$ est nécessairement un espace préhilbertien, c'est-à-dire qu'il existe un produit scalaire $(.,. )$ sur $E$ tel que pour tout $x$ de $E$, on a $(x, x)=\|x\|^2$. Il s'agit donc de construire un produit scalaire, et compte tenu des formules de polarisation, on pose:
$$(x, y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right). $$
Il reste à vérifier que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire. Montrer que pour tout $x, y$ de $E$, on a $(x, y)=(y, x)$ et $(x, x)=\|x\|^2$. Montrer que pour $x_1, \ x_2, \ y\in E$, on a $(x_1+x_2, y)-(x_1, y)-(x_2, y)=0$ (on utilisera l'identité de la médiane avec
les paires $(x_1+y, x_2+y)$ et $(x_1-y, x_2-y)$).
Le terme de produit scalaire semble dû à Hamilton (vers 1853). Consulter aussi...
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