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Inscription / Connexion Nouveau Sujet Niveau Licence Maths 1e ann Bonsoir,
Je suis en train de travailler sur la démonstration de l'unicité de la limité d'une fonction, et j'ai trouvé cette démonstration sur internet (cf.
Unite De La Limite Definition
Il est clair que si ce n'est vrai que pour un seul >0, alors on ne peut pas en conclure que la constante est négative (ou nulle). Et le fait que ce soit une constante indépendante de x est important. En effet, de manière générale on est souvent amener à majorer la quantité |f(x)-l| par, c'est-à-dire écrire:
|f(x)-l|<. On ne peut clairement pas ici appliquer le même raisonnement et en déduire que |f(x)-l| 0. Pourquoi? Cela se voit bien si l'on écrit les quantificateurs proprement. Par exemple dire que f(x) tend vers l en a:
>0, >0/ x, |x-a|< |f(x)-l|<
Il est donc faux de dire que pour tout >0, |f(x)-l|<. Unite de la limite definition. Il faut dire que pour tout >0, et pour tout x assez proche de a, |f(x)-l|<. Aucune raison donc ici de pouvoir passer à la limite 0 car à chaque fois que l'on prend un nouvel, le domaine des x où l'inégalité est vraie varie. Par contre, dans le cas d'une constante indépendante de x, eh bien on se débarrasse justement du problème de la dépendance en x. On prend >0, et on a directement |l-l'|<.
Unite De La Limite 2
Vocabulaire et
notation
Si une suite admet pour limite le nombre réel
I on dit qu'elle est convergente vers I (ou
qu'elle converge vers I ou qu'elle tend vers
I). On note: ou lim u = I. Théorème
1
La limite d'une suite est unique. 2
Les suites,
où k est un entier positif non nul, convergent
vers 0. 2. [Preuve] Unicité de la limite d'une suite – Sofiane Maths. Limites infinies de suites
Dire que la suite u a pour limite +∞
signifie que tout intervalle de la forme [ A;
+∞[, où A est un réel,
contient tous les termes de la suite à partir d'un
certain rang. On note: lim u =
+∞ ou
Dire que la suite u a pour limite -∞
signifie que tout intervalle de la forme]-∞;
B [, où B est un réel,
certain rang. On note: lim u = -∞
ou. Exemple: Soit la suite u telle que,
pour tout n ∈,
u n = 4 n 2 + 1. Soit I = [ A; +∞[. Démontrons qu'à partir d'un certain rang,
tous les termes de la suite sont dans l'intervalle
I. Si n ≥ alors
n 2 > A et 4 n 2
+ > n 2 > A, donc
Si N est le plus petit entier tel que N ≥, à
partir du rang N, tous les termes de la suite
u sont dans l'intervalle I. lim u =
+∞.
Unicité De La Limite.Com
Or: $$\begin{align*} & \frac{2 l_2 + l_1}{3} - \frac{2 l_1 + l_2}{3} = \frac{l_2-l_1}{3} > 0\\ \Rightarrow \quad & \frac{2 l_2 + l_1}{3} > \frac{2 l_1 + l_2}{3}\\ \Rightarrow \quad & \left[\frac{4 l_1 - l_2}{3}, \frac{2 l_1 + l_2}{3}\right] \cap \left[\frac{2 l_2 + l_1}{3}, \frac{4 l_2 - l_1}{3}\right] = \emptyset \end{align*}$$ Le résultat obtenu est absurde car, à partir d'un certain rang, \(u_n \in \emptyset\), ce qui veut donc dire qu'une suite ne peut avoir plus d'une limite. Recherche
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Démonstration unicité limite d'une suite Unicité limite d'une suite
Commentaires
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Unicité De La Limite En Un Point
Dire ici que ce serait vrai seulement pour x assez proche de a n'aurait aucun sens, puisqu'on majore une quantité indépendante de x, donc ce dernier n'intervient pas. C'est la raison pour laquelle ici on peut passer à la limite 0 et en déduire |l-l'| 0 (et même =0 car une valeur absolue est nécessairement positive, mais là on voyait la quantité comme une constante, et on ne s'intéressait pas tellement à sa qualité de valeur absolue). On pourrait le voir légèrement différemment en se disant que |l-l'|< pour tout >0, c'est en fait dire que l' l, ou plutôt f(x) l, où f est la fonction constamment égale à l'. Une telle limite ne peut bien sûr se produire que si l=l'. En espérant que ce soit un peu plus clair pour nils290479... Unicité de la limite d'une fonction. Ce topic
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Unite De La Limite De
3. Limites d'une suite monotone, non-majorée ou
non-minorée
a. Suite croissante et non majorée
La suite u est majorée, si, et
seulement si, il existe un réel M tel que
pour tout n, u n ≤
M. M est appelé un
majorant de la suite. En conséquence, la suite u est non
majorée si, et seulement si, quelque soit le
réel M, il existe n tel que
u n ≥ M. Exemple: Soit la suite u telle
que, pour tout n ∈ *,
+ 1. Pour tout n ∈ *, 0
≤ 2 donc
pour tout n ∈ *, 1 <
+ 1 ≤ 3. Unicité de la limite.com. La suite u est majorée et 3 est
un majorant de cette suite u. Théorème
Si u est une suite croissante et non
majorée, alors u tend vers +∞. D émonstration: Soit A un réel
quelconque, et u une suite non majorée. u est non majorée donc il existe un naturel
p tel que u p ≥ A.
u est croissante donc quel que soit n ≥ p,
u n ≥ u p.
On en déduit que à partir du rang p,
tous les termes de la suite sont dans l'intervalle] A; +∞[, d'où le
résultat. Exemple: Soit la suite u telle que, pour
tout n ∈,
u n = 4 n + 2.
u est croissante et quel que soit le réel
positif M, u m ≥ M, donc u
n'est pas majorée.
Un tel espace est toujours T 1 mais n'est pas nécessairement séparé ni même seulement à unique limite séquentielle. Preuve : unicité de la limite d'une suite [Prépa ECG Le Mans, lycée Touchard-Washington]. On peut par exemple considérer la droite réelle munie de sa topologie usuelle et y ajouter un point 0' (qui clone le réel 0) dont les voisinages sont les voisinages de 0 dans lesquels on remplace 0 par 0'. Dans cet espace, la suite (1/ n) converge à la fois vers 0 et 0'. Notes et références [ modifier | modifier le code]
Article connexe [ modifier | modifier le code]
Espace faiblement séparé
v · m Axiomes de séparation
Espace de Kolmogorov ( T 0)
Espace symétrique ( R 0)
Espace accessible ( T 1)
Espace séparé ( T 2)
Espace régulier ( T 3)
Espace complètement régulier ( T 3 ½)
Espace normal ( T 5)
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