La courbe représentative de la fonction homographique $f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}$ s'appelle Hyperbole. Le point $\omega(\alpha; \beta)$ est le centre de l'hyperbole et les deux droites d'équations $x=\alpha$ et $y=\beta$ sont des asymptotes de l'hyperbole. Exemple:
Soit la fonction: $f(x)=\frac{2x+4}{x-1}$. Domaine de définition de $f$:
$f$ est définie si $x-1\ne 0$ c. à. d $x\ne 1$ donc $D_f=]-\infty;1[U]1; +\infty[$. Variation de $f$:
On a: $f(x)=\frac{2x+4}{x-2}=\frac{2(x+2)}{x-1}$
$=2\frac{x+2}{x-1}=2\frac{x-1+1+2}{x-1}$
$=2(\frac{x-1}{x-1}+\frac{3}{x-1})$
$=2(1+\frac{3}{x-1}=2+\frac{6}{x-1}$
Alors $\alpha=1$, $\beta=2$ et $k=6$ et puisque $k>0$ alors $f$ est décroissante sur $]-\infty; 1[$ et sur $]1; +\infty[$. Tableau de variation de $f$:
Courbe représentative de $f$:
$C_f$ est un hyperbole de centre $\omega(1;2)$ et les deux droites d'équations $x=1$ et $y=2$ sont des asymptotes de l'hyperbole. Explication du cours en vidéo:
Fonctions homographiques QUIZ
Essayer de faire l'exercice sur papier avant de choisir les bonnes réponses.
Math Fonction Homographique Du
Posté par Ramanujan 10-01-19 à 17:49 Bonjour,
Soient des réels tels que: et
Et
Montrer qu'il existe tel que:
Je n'arrive pas à faire cette question
J'ai écrit: mais ça mène nulle part. Posté par matheuxmatou re: Fonction homographique 10-01-19 à 17:54 bonjour... c'est reparti pour une centaine d'échanges? tu galèges là!
Math Fonction Homographique De La
Posté par matheuxmatou re: Fonction homographique 11-01-19 à 10:51 oui, sur un intervalle c'est juste
Posté par Ramanujan re: Fonction homographique 11-01-19 à 10:55 Par composée la fonction f est strictement monotone. Mais vous avez raison c'est un piège classique la fonction inverse, ce détail est important elle est pas monotone sur
Par contre le domaine d'arrivée de j'ai le droit de mettre alors que la fonction prend peut être pas toutes les valeurs dans? J'ai toujours du mal avec les ensembles d'arrivée.
(pour toutx different -d/c, f(x)=a/c. c'est la premiere fois que je vois et étudie ces fonctions donc la j'aurais un peu besoin de vous ^^
par SoS-Math(7) » sam. 2010 16:49
Bonsoir,
Pour la question 2), il faut calculer f(x)-f(x') et démontrer que ce résultat est égal à zéro. Il faut tout mettre sous le même dénominateur et factoriser, le facteur (ad-bc) apparait alors... Bonne continuation
par Laurent » sam. 2010 17:16
ax+b/d - ax/d+b/d' sa me donne bien zéro néanmoins il ne faut pas que je parte de cela je pense parceque le facteur je le trouve pas ensuite. merci
par SoS-Math(7) » sam. 2010 19:06
Bonsoir Laurent
\(f(x)-f(x')=\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{ax'+b}{cx'+d}=\frac{(ax+b)(cx'+d)-(ax'+b)(cx+d)}{(cx+d)(cx'+d)}\)
Développe et simplifie le numérateur pour faire apparaitre le facteur \((ad-bc)\). par Laurent » sam. 2010 19:53
Bonsoir
j'arrive pas a voir comment developper par contre j'ai fait quelque chose et je pense peut-être avoir juste:
ax+b=a/c(cx+d)-ad/c +b
soit ax+b=a/c(cx+d)-ad-bc/c
on en déduit ax+b/cx+b=a/c-ad-bc/c/cx+d
or si ad-bc est nul ad-bc/c/cx+d=0 donc ax+b/cx+d=a/c qui est constant
dsl si c'est pas trés clair avec les /
par SoS-Math(7) » sam.
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