Si nous faisons désormais intervenir le potentiel électrique, nous obtenons l'équation suivante: si nous posons
comme nous venons de montrer que
alors
Cette équation est dite équation de Poisson et elle relie le potentiel à ses sources. C'est cette équation qui est employée en pratique sur ordinateur pour déterminer des potentiels dans des situations arbitraires (accélérateur de particules, four micro-ondes, molécules complexes... ). Dans le cas où la charge est nulle (dans le vide par exemple) on obtient l'équation dite de Laplace
Cette équation apparaît souvent dans d'autres sous-disciplines de la physique (thermique, etc). La plupart du temps elle permet de prévoir une dépendance linéaire du potentiel dans le vide pour raccorder deux conditions aux limites: cas des condensateurs par exemple. En effet à une dimension on obtient
donc
avec
une constante (correspondant au champ électrique); puis
une autre constante à déterminer en fonction de conditions aux limites.
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L'équation de Poisson devient \( \dfrac{\partial^2V}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2V}{\partial y^2} = -\dfrac{\rho(x, y)}{\epsilon_0} \). C'est cette équation que nous allons résoudre numériquement. Vous constaterez qu'il s'agit d'une équation elliptique, avec des conditions de Dirichlet, qui se résoud analytiquement assez simplement par la méthode de la séparation des variables. Ici, nous allons la résoudre numériquement avec la méthode de Gauss-Seidel déjà vue par ailleurs. Résolution numérique de l'équation de Poisson
La physique du problème
Soit deux charges, +Q et -Q, disposées sur une surface fermée vide dont les bords sont maintenus à un potentiel constant nul. Le problème consiste à calculer le potentiel créé sur cette surface par notre distribution de charges. La discrétisation de l'équation de Poisson 2D
La discrétisation de l'espace
Comme pour l'équation de Laplace, nous allons utiliser les méthodes aux différences finies, que j'ai abordé dans cette page. Dans notre cas, cela revient à mailler le plan sur lequel nous voulons résoudre l'équation de Poisson, par une grille dont les mailles sont très petites, de forme rectangulaires ou carrée, de dimension \( \Delta x\) et \( \Delta y\).
Cette relation met en évidence le fait que ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait! ). Cas d'un stratifié (isotrope transverse) [ modifier | modifier le code]
Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante:
où et sont les modules de Young des matériaux et est le coefficient secondaire de Poisson. Cas des matériaux naturels [ modifier | modifier le code]
Le coefficient de Poisson peut être calculé à partir de l'allongement longitudinal et du rétrécissement transversal, mesurés directement. Pour les matériaux très rigides il peut être plus commode de mesurer la vitesse de propagation des ondes P et des ondes S et d'en déduire le coefficient de Poisson, grâce à la relation:. Corps simples [ modifier | modifier le code]
La plupart des corps simples à l' état solide ont un coefficient de Poisson compris entre 0, 2 et 0, 4. Sur 64 de ces corps simples [ 1], 6 seulement ont un coefficient supérieur à 0, 4 ( Si: 0, 422; Au: 0, 424; Pb: 0, 442; Mo: 0, 458; Cs: 0, 460; Tl: 0, 468), et 4 un coefficient inférieur à 0, 2 ( Ru: 0, 188; Eu: 0, 139; Be: 0, 121; U: 0, 095); aucun n'est auxétique.
Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes. Le coefficient de Poisson n'a pas d'unité.
Le reste du code sert à l'affichage de la grille et ne présente pas grand intérêt... Les résultats
Avec le code ci-dessus, j'obtiens les résultats suivants:
Le nombre d'itérations pour atteindre la précision demandée (10-3) est de 3060. Le temps de calcul est d'environ une seconde sur mon Precision M6400. Sur le plan physique, le potentiel dans le domaine en fonction de la position des charges s'établit comme suit:
On pourrait vérifier par quelques calculs simples que la loi de Coulomb pour l'électrostatique est vérifiée. Les scripts Python
Les scripts Python étudiés dans cette page sont disponibles dans le package:: résolution de l'équation de Poisson en utilisant la méthode de Gauss-Seidel
Pour conclure
Avec un peu de pratique, l'utilisation des méthodes aux différences finies pour résoudre numériquement des EDP se révèle souple et assez puissante, du moins dans nos cas très simples. Vous pouvez vous entrainer en modifiant la répartition des charges ou bien le maillage de la grille, par exemple en le resserrant à proximité des charges.
Les valeurs expérimentales obtenues pour un matériau quelconque sont souvent voisines de 0, 3. Relations [ modifier | modifier le code]
Cas d'un matériau isotrope [ modifier | modifier le code]
Le changement de volume ΔV / V dû à la contraction du matériau peut être donné par la formule (uniquement valable pour de petites déformations):
Démonstration
Soit un cube constitué d'un matériau isotrope d'un volume initial,
et de volume final. Où
La relation entre les deux est donc:, soit en développant:
L'hypothèse de petites déformations permet de négliger les termes du second ordre, on obtient alors:
en divisant cette relation par le volume initial:
Le module d'élasticité isostatique () est lié au Module de Young () par le coefficient de Poisson () au travers de la relation:
Cette relation montre que doit rester inférieur à ½ pour que le module d'élasticité isostatique reste positif. On note également les valeurs particulières de ν:
pour ν = 1/3 on a K = E.
pour ν → 0, 5 on a K → ∞ incompressibilité (cas du caoutchouc, par exemple)
Avec le module de Young () exprimé en fonction du module de cisaillement () et de:.
La discrétisation de l'équation
Nous allons discrétiser notre équation en réalisant un développement de Taylor d'ordre de nos deux dérivées partielles.
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En lisant vite… y a de quoi se tromper
didou
Date: samedi 20 août 2011, 11:50:43
C'est les 30 de mariage a mes parent et je voudrais leur faire une suprise une chanson d'amour que je chanterais avec ma soeur, Merci de me le dire au plus vite d'avence
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merci merci
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#6
nous avons aussi feté les 50 ans de mariage de mes GP et tout les petits enfants avons chanté "voulez vous danser Gmere" ils ont pleuré!!! autrement leurs enfants ont fait un poeme qui retracé leur vie comme je suis italienne ct sur le fond musical du parrain et une de leur fille a expliqué leur venue en france les difficultés les naissances des enfants et leur bonheurs entouré d'une grande famille ct très émouvant autre chose aussi qu'on a fait pour leur 40 ans de mariage ct retracer leur vie sur photo avec enfants et petits enfants mais pas aussi émouvant voila des idées qui ont marchés pour nous
1245759087
#7
Moi aussi c'est les noces d'or de mes grand parents. J'ai écrit une chanson sur le théme de l'oiseau et l'enfant deMarie Myriam une belle chanson dont tous le monde connait et facile à chanté. NOCES D'OR - La Java pour fêter des 50 ANS DE MARIAGE - YouTube. Les paroles sont dessous.
Nos mains ne se sont jamais séparées, nous avons traversé des orages, nous avons surmonté des épreuves difficiles, la vie n'a pas toujours été rose. Non, nous n'avons pas vécu un conte de fée, rien n'était lisse ni parfait. Mais toujours, il y a eu de l'amour, des rires, de longs moments à discuter, de longs moments calmes à bouquiner chacun sur notre fauteuil. Nous avons fondé une merveilleuse famille dont je suis la plus fière aujourd'hui. Après 50 ans de mariage, je regarde en arrière et je me dis que je ne changerai rien, absolument rien si j'avais la possibilité de retourner dans le passé. Chanson pour 50 ans de marriage de ses parents photo. Chaque difficulté nous a prouvé que la force de l'amour conjugal et familial surpassait tout. Chaque dispute, nous a construit, appris. Tout n'a pas été rose mais j'ai vécu à tes côtés une vie multicolore, tu m'a rendu heureuse chaque jour, tu as fait de moi une épouse comblée. Noces d'étain, Noces de Porcelaine, Noces de perle, Noces d'émeraude… Nous voilà aux Noces d'or et je crois fort en nous pour les Noces de diamants!