Des évaluations successives seront obtenues par itération de:
La précision désirée sera atteinte en augmentant le nombre des itérations. La méthode est aussi applicable à la variable complexe avec:
sous réserve que l'approximation initiale soit complexe: après que toutes les racines
réelles aient été déterminées avec des approximations initiales
réelles, les racines complexes seront recherchées avec des approximations initiales complexes. Théorème de racine conjuguée complexe - Complex conjugate root theorem - abcdef.wiki. Lorsqu'une première racine z 1 est déterminée, pour éviter que le
procédé revienne sur cette valeur, le degré du polynôme est abaissé en le divisant par
z- z 1): les racines du quotient seront les racines restant à découvrir. 1. 2 Cas d'une racine réelle
Ce nouveau polynôme correspondant à:
avec
on obtient:
et en identifiant avec les termes de même puissance du polynôme initial:
il en résulte:
( s'agissant, pour l'instant, d'une racine réelle on a: z = x)
1. 3 Cas d'une paire de racines complexes conjuguées
Le quotient sera établi partir des deux racines z 1 et z 1 *, l'abaissement
portera donc sur deux degrés:
En identifiant comme précédemment:
On saura ainsi exprimer le nouveau polynôme, abaissé de un ou deux degrés
selon que la racine extraite est réelle ou complexe, pour en extraire une nouvelle racine.
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Cette rubrique est un peu plus "scolaire" car je ne vois comment la faire autrement... Soit z = a + b. i un nombre réel. On dit que z barre est le conjugué de z si:
Pour un même nombre complexe z = a+b. i, il existe des propriétés tout à fait intéressantes dessus. Démonstration:
Le z barre barre n'est pas si barbare que ça;-)
En effet:
Pour toute la suite de ce chapitre on posera z_1 et z_2 deux nombres complexes différents tel que:
Démontration:
Elle se fait en 2 parties. D'abord on calcule le conjugué du produit, puis le produit des conjugués et on compare les résultats obtenus pour chacun. 1. Calcul du conjugué du produit:
2. Racines complexes conjugues les. Calcul du produit des conjugués:
L'égalité énoncé plus haut est donc bien respectée. Elle se fait de la même manière que précédemment. 1. Calcul du conjugué de l'inverse:
2. Calcul de l'inverse du conjugué:
L'égalité énoncé plus haut est donc à nouveau donc bien respectée. Pour démontrer celà, il nous faudra utiliser les propriétés démontrées précédemment. Si vous voulez, il existe une super vidéo qui récapitule tout cela:
Passons maintenant à la méthode de résolution des équations du second degré dans C, c'est à dire ayant un Delta strictement négatif.
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En mathématiques, le théorème complexe de la racine conjuguée stipule que si P est un polynôme à une variable avec des coefficients réels, et a + bi est une racine de P avec a et b des nombres réels, alors son complexe conjugué a − bi est aussi une racine de P.
Il résulte de ceci (et du théorème fondamental de l'algèbre) que, si le degré d'un polynôme réel est impair, il doit avoir au moins une racine réelle. Ce fait peut également être prouvé en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires. Exemples et conséquences
Le polynôme x 2 + 1 = 0 a pour racines ± i. Racines complexes conjugues dans. Toute matrice carrée réelle de degré impair possède au moins une valeur propre réelle. Par exemple, si la matrice est orthogonale, alors 1 ou -1 est une valeur propre. Le polynôme
a des racines
et peut donc être pris en compte comme
En calculant le produit des deux derniers facteurs, les parties imaginaires s'annulent, et on obtient
Les facteurs non réels viennent par paires qui, une fois multipliés, donnent des polynômes quadratiques avec des coefficients réels.
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Pour retenir cette formule:
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Définition: soit Z un nombre
complexe donné, on appelle racine carrée complexe
de Z tout nombre complexe z, s'il existe tel que z² = Z
Cette notion n'est surtout pas à confondre
avec la racine carrée dans
qui est unique contrairement à celle qui vient d'être
définie. Racines complexes conjugues des. Les écritures suivantes
sont fortement déconseillées pour éviter justement
l'amalgame entre les deux racines carrées: racine carrée
d'un réel positif et racines carrées d'un nombre complexe. Voila une méthode permettant de déterminant les racines
éventuelles d'un nombres complexes:
le plus simple pour déterminer les racines carrées
d'un nombres complexe Z de forme algébrique a + bi est de
poser z = x + iy (ou x et y sont des réels) puis de résoudre
le sytème d'équation à deux inconnues qui en
résulte en effet:
il est trés simple alors d'en déduire x² en ajoutant
la première et la troisième équation puis en
déduire les valeurs de x puis y. Exemple:
on veut déterminer les racines carrées de 3 + 4i
on en déduit deux racines carrées pour 3 + 4i:
-2 - i et 2 + i
Exemples de calculs
de racines carrées
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