(2016: 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n'est pas attendu dans le plan. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d'optimisation, au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d'un convexe,... Par ailleurs, l'inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités. Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d'uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $ p > 1$, par exemple, et de leurs conséquences. Plans/remarques:
2020: Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Plan de Owen
Auteur:
Références:
Analyse, Gourdon
Analyse numérique et optimisation: une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
Analyse fonctionelle, Brézis
Cours d'analyse, Pommelet
Analyse.
- Inégalité de convexité généralisée
- Inégalité de convexité ln
- Inégalité de convexité démonstration
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Inégalité De Convexité Généralisée
Leçon 253 (2020): Utilisation de la notion de convexité en analyse. Dernier rapport du Jury:
(2019: 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. ) Il s'agit d'une leçon de synthèse, très riche, qui mérite une préparation soigneuse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n'est pas nécessairement attendu dans le plan. Il s'agit d'aborder différents champs des mathématiques où la convexité intervient. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d'optimisation (par exemple de la fonctionnelle quadratique), au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d'un convexe,... ). Les fonctions convexes élémentaires permettent aussi d'obtenir des inégalités célèbres. On retrouve aussi ce type d'argument pour justifier des inégalités de type Brunn-Minkowski ou Hadamard. Par ailleurs, l'inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités.
Inégalité De Convexité Ln
\(f\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)
\(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est croissante sur \(I\)
\(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est décroissante sur \(I\). De cette propriété vient naturellement la suivante…
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\). \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\)
\(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0\)
Si \(f^{\prime\prime}\geqslant 0\), alors \(f\) est convexe: Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(I\) telle que pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\). Soit \(a\in I\). La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation
\[ y = f'(a)(x-a)+f(a) \]
Pour tout \(x\in I\), posons alors \(g(x)=f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a))\). \(g\) est deux fois dérivable sur \(I\), et pour tout \(x\in I\)
\(g'(x)=f'(x)-f'(a)\)
\(g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)\)
Ainsi, puisque pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\), on a aussi \(g^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\).
Inégalité De Convexité Démonstration
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Activité: Cours particuliers - Professeur à Sciences Po et LSE
Formation: ENS Cachan, Oxford University
Convexité, concavité
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve au-dessus de la courbe
On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve en-dessous de la courbe
Exemple: Les fonction \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto |x|\) et \(x\mapsto e^x\) sont convexes sur \(\mathbb{R}\). La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \(\mathbb{R}_+\). La fonction \(x\mapsto x^3\) est concave sur \(\mathbb{R}_-\) et convexe sur \(\mathbb{R}_+\). Exemple: Attention: on parle bien de convexité sur un intervalle. Par ailleurs, ce n'est pas parce qu'une fonction \(f\) est convexe sur deux intervalles \([a, b]\) et \([b, c]\) que \(f\) est aussi convexe sur \([a, c]\). La fonction représentée ci-dessus est convexe sur \([-3;0]\) et sur \([0;3]\) mais n'est pas convexe sur \([-3, 3]\).
L'acide glycyrrhétinique, présent dans la formulation de ce bain de bouche, est présent pour apporter ses propriétés apaisantes et anti-inflammatoires, idéales lorsque les gencives sont irritées ou fragilisées. On retrouve également de la menthe dans la formulation de ce bain de bouche, pour apporter immédiatement fraîcheur et bien-être lors de son utilisation. En effet, elle va permettre d' atténuer la douleur gingivale grâce à la sensation de froid qu'elle procure sur les gencives, qui anesthésie directement le sentiment de douleur. De plus, elle permet également d' obtenir une haleine fraîche. Créés en 1963, les laboratoires Pierre Fabre Oral Care, à l'origine du bain de bouche Arthrodont, ont comme principale préoccupation d'apporter une solution médicale adaptée à chaque problème bucco-dentaire. Pour ce faire, ils se reposent avant tout sur l'avis et l'expertise de professionnels de santé bucco-dentaire afin de concevoir des produits de qualité, sûrs et efficaces. Contient de l'acide glycyrrhétinique à 0, 2%
Contenance: 300 ml
Prêt à l'emploi, à utiliser après le brossage avec un dentifrice adapté.
Bain De Bouche Pierre Fabre Rose
Accueil
Hygiène - Beauté
Bucco-dentaire
Bain de bouche
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9 avis
Hygiène quotidienne des gencives irritées dès 6 ans
Pour qui:
Adolescent, Adulte, Enfant
Caractéristiques:
Gencives
Contenant de l'alcool:
Oui
Contenance
Référence: 3577056023347
Produits associés
PRÉSENTATION
CONSEILS D'UTILISATION
COMPOSITION
Le bain de bouche Arthrodont des laboratoires Pierre Fabre Oral Care est un soin bucco-dentaire utilisé pour l'hygiène quotidienne des gencives irritées, fragilisées. Il est particulièrement conseillé pour l'hygiène des dents et des gencives chez les porteurs d'appareil orthodontique, de prothèse dentaire ainsi que chez les femmes enceintes. Le bain de bouche Arthrodont participe à la fois, à la protection des gencives, et à une hygiène bucco-dentaire efficace, même au niveau des zones interdentaires, qui sont plus difficiles d'accès durant le brossage de dents. Les gencives sensibles se caractérisent par des rougeurs et des douleurs lors du brossage pouvant aller jusqu'au saignement.
Bain De Bouche Pierre Fabre Blanc
Eludrilpro
Flacon de 200ml et 500ml avec gobelet doseur et format nomade 6x15ml. Tous nos packagings sont fabriqués en plastique 100% recyclé. Médicament
Action antiseptique et légèrement antalgique
Eludrilpro est une solution pour bain de bouche indiquée pour soigner et soulager les petits maux de bouche (genitives irritées, légers saignements, aphtes... ). Il est utilisé dans le traitement local d'appoint des affections de la cavité buccale et lors de soins post-opératoires en odontostomatologie. En limitant le développement de la plaque bactérienne, il permet aussi de réduire l'inflammation gingivale. Fait pour
Adulte et enfants de plus de 6 ans
Fabriqué en
France - flacon en plastique 100% recylé
Eludrilpro possède deux actions:
- Antiseptique: grâce à la Chlorhexidine et au Chlorobutanol qui sont deux antiseptiques qui empêchent la mutliplication de certains germes. - Légèrement antalgique (contre la douleur): Le chlorobutanol possède une proprièté légèrement antalgique. Avantage
Eludrilpro possède une double action: Antiseptique et légèrement antalgique.
Bain De Bouche Pierre Fabre Sur
Eluday Intense - bain de bouche quotidien fraîcheur intense
Sans alcool. Made in France. Label OFG (Origine France Garantie). Cosmétique
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Un bain de bouche fraîcheur qui limite le développement des bactéries, pour une sensation agréable bouche saine et extra-fraîche. Technologie fraîcheur innovante, goût mentholé frais. Fraîcheur longue durée. Fait pour
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Âge
À partir de 12 an(s)
Besoin
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Le plaisir de prolonger la fraîcheur ressentie après le brossage va bien au-delà de la simple satisfaction personnelle: il améliore également le rapport aux autres. Une bouche saine et fraîche procure confiance en soi et aisance. Des qualités qu' Eluday Intense bain de bouche, contribue à renforcer, grâce à sa fraîcheur intense longue durée. Son arôme de menthe en fait un des gestes biquotidiens les plus prisés de la salle de bain. En limitant le développement des bactéries et la formation de plaque dentaire (-74% dès 3 semaines d'utilisation)¹, il procure une sensation de propreté boostante et tonifiante.
Rincez-vous la bouche pendant 30 secondes avec 15 ml de bain de bouche non dilué, matin et soir après le brossage. Recrachez. Ne pas rincer à l'eau.