Vidange d'une clepsydre (20 minutes de préparation) Un réservoir de forme sphérique, de rayon R = 40 cm, est initialement rempli à moitié d'eau de masse volumique ρ = 10 3 kg. m – 3. Vidange d un réservoir exercice corrige les. La pression atmosphérique P 0 règne au-dessus de la surface libre de l'eau grâce à une ouverture pratiquée au sommet S du réservoir. On ouvre à t = 0 un orifice A circulaire de faible section s = 1 cm 2 au fond du réservoir. Question Établir l'équation différentielle en z s (t), si z s (t) est la hauteur d'eau dans le réservoir comptée à partir de A, à l'instant t. Solution En négligeant la vitesse de la surface libre de l'eau, le théorème de Bernoulli entre la surface et la sortie A donne: \(P_0 + \mu gz = P_0 + \frac{1}{2}\mu v_A^2\) D'où: \(v_A = \sqrt {2gz_S}\) On retrouve la formule de Torricelli. L'eau étant incompressible, le débit volumique se conserve: \(sv_A = - \pi r^2 \frac{{dz_S}}{{dt}}\) Or: \(r^2 = R^2 - (R - z_S)^2 = z_S (2R - z_S)\) Soit, après avoir séparé les variables: \((2R - z_S)\sqrt {z_S} \;dz_S = - \frac{{s\sqrt {2g}}}{\pi}\;dt\) Question Exprimer littéralement, puis calculer, la durée T S de vidange de ce réservoir.
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(20 minutes de préparation) Un réservoir de forme sphérique, de rayon R = 40 cm, est initialement rempli à moitié d'eau de masse volumique ρ = 10 3 kg. m – 3. La pression atmosphérique P 0 règne au-dessus de la surface libre de l'eau grâce à une ouverture pratiquée au sommet S du réservoir. Vidange d un réservoir exercice corrigé 2. On ouvre à t = 0 un orifice A circulaire de faible section s = 1 cm 2 au fond du réservoir. Vidanges de réservoirs Question Établir l'équation différentielle en z s (t), si z s (t) est la hauteur d'eau dans le réservoir comptée à partir de A, à l'instant t. Solution En négligeant la vitesse de la surface libre de l'eau, le théorème de Bernoulli entre la surface et la sortie A donne:
D'où:
On retrouve la formule de Torricelli. L'eau étant incompressible, le débit volumique se conserve:
Or:
Soit, après avoir séparé les variables:
Vidanges de réservoirs Question Exprimer littéralement, puis calculer, la durée T S de vidange de ce réservoir. Solution La durée de vidange T S est:
Soit:
L'application numérique donne 11 minutes et 10 secondes.
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Vidange dun rservoir
Exercices de Cinématique des fluides
1) On demande de caractériser les écoulements bidimensionnels,
permanents, ci-après définis par leur champ de vitesses. a). b)
c)
d)
| Réponse
1a | Rponse
1b | Rponse
1c | Rponse
1d |
2) On étudie la possibilité découlements bidimensionnels,
isovolumes et irrotationnels. On utilise, pour le repérage des particules du fluide, les coordonnées
polaires habituelles (). 2)a) Montrer quil existe, pour cet écoulement, une fonction
potentiel des vitesses,
solution de léquation aux dérivées partielles de Laplace. Un MOOC pour la Physique - Exercice : Vidange d'une clepsydre. On étudie la possibilité de solutions élémentaires
où le potentiel
ne dépend soit que de,
soit que de. 2)b)
Calculer le champ des vitesses. Après avoir précisé la
situation concrète à laquelle cette solution sapplique, calculer
le débit de lécoulement. 2)c)
Calculer
le champ des vitesses. Préciser la situation concrète à
laquelle cette solution sapplique. 2a | Rponse
2b | Rponse
2c |
3) On considère un fluide parfait parfait (viscosité
nulle), incompressible (air à des faibles vitesses découlement)
de masse volumique m entourant un obstacle
cylindrique de rayon R et daxe Oz.
Vidange D Un Réservoir Exercice Corrigé Pdf
Il existe une ligne de courant ente le point A situé à la surface libre et le point M dans la section de sortie, on peut donc appliquer la relation de Bernouilli entre ces deux points: En considérant les conditions d'écoulement, on a:. En outre, comme la section du réservoir est grande par rapport à celle de l'orifice, la vitesse en A est négligeable par rapport à celle de M: V_A = 0 (il suffit d'appliquer la conservation du débit pour s'en rendre compte). En intégrant ces données dans l'équation, on obtient: D'où
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z 2α. Il vient V 2 = dz / dt = − (r² / a²). (2g) ½. z (½ − 2α). L'intégration de cette équation différentielle donne la loi de variation de la hauteur de liquide en fonction du temps. Montrer que dans ce cas, on a: z (½ + 2α) = f(t). Récipient cylindrique (α = 0)
Dans ce cas z = f(t²). Voir l'étude détaillée dans la page Écoulement d'un liquide. Récipient conique (entonnoir) (α = 1)
z 5/2 = f(t). r(z) = a. z 1 / 4. Dans ce cas la dérivée dz /dt est constante et z est une fonction linéaire du temps. Cette forme de récipient permet de réaliser une clepsydre qui est une horloge à eau avec une graduation linéaire. Vidange d un réservoir exercice corrige des failles. Récipient sphérique
Noter dans ce cas le point d'inflexion dans la courbe z = f(t). Données:
Dans tous les cas r = 3 mm. Cylindre R = 7, 5 cm. Cône: a = 2, 34. Sphère R = 11 cm. Pour r(z) = a. z 1 / 4 a = 50. Pour r(z) = a. z 1 / 2 a = 23, 6.
Réponses:
B) la pression
C) Ps= pression à la sortie du cylindre Pa=au niveau du piston
J'utilise la formule de bernoulli:
Ps +1/2pv^2 +pghs= Pa + 1/2Pv^2 pgha
Je dis que la vitesse au niveau de a est négligeable à la vitesse de l'eu à la sorte du cylindre. Mais je ne comprends pas comment calculer Ps et Pa.... Si vous pouviez m'aider ça serait parfait
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