Dérivée seconde Soit f f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I I. Si la fonction dérivée, f ′ f' est elle aussi dérivable, on dit que f f est deux fois dérivable et on appelle dérivée seconde, notée f ′ ′ f'', la dérivée de f ′ f'.
Dérivation Et Continuités
L'unique flèche oblique montre que la fonction f f est continue et strictement croissante sur] 0; + ∞ [ \left]0;+\infty \right[. − 1 - 1 est compris entre lim x → 0 f ( x) = − ∞ \lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left(x\right)= - \infty et lim x → + ∞ f ( x) = 1 \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f\left(x\right)=1. Par conséquent, l'équation f ( x) = − 1 f\left(x\right)= - 1 admet une unique solution sur l'intervalle] 0; + ∞ [ \left]0; +\infty \right[. Dérivation et continuité pédagogique. 3. Calcul de dérivées
Le tableau ci-dessous recense les dérivées usuelles à connaitre en Terminale S. Pour faciliter les révisions, toutes les formules du programme ont été recensées; certaines seront étudiées dans les chapitres ultérieurs.
Dérivation Et Continuité Pédagogique
I - Dérivées 1 - nombre dérivé définition Dire que la fonction f est dérivable au point a de son intervalle de définition signifie que le taux de variation f a + h - f a h admet une limite finie quand h tend vers zéro. Cette limite est appelée le nombre dérivé de f au point a. On le note f ′ a. Dérivabilité et continuité. f ′ a = lim h → 0 f a + h - f a h 2 - Tangente à une courbe Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et 𝒞 f sa courbe représentative dans un repère du plan. Cliquer sur le bouton pour lancer l'animation et observer ce qui se passe quand h vers 0. La droite passant par le point A a f a de la courbe 𝒞 f et de coefficient directeur f ′ a est la tangente à la courbe 𝒞 f au point d'abscisse a. Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et 𝒞 f sa courbe représentative dans un repère du plan.
Derivation Et Continuité
Si f est constante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f ′ x = 0. Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f ′ x ⩾ 0. Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f ′ x ⩽ 0. Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée. Théorème 2 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ et f ′ la dérivée de f sur I. Si f ′ est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f ′ est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f ′ est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur I. Théorème 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de ℝ et x 0 un réel appartenant à I. Si f admet un extremum local en x 0, alors f ′ x 0 = 0. Si la dérivée f ′ s'annule en x 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x 0. Dérivation et continuité d'activité. x a x 0 b x a x 0 b f ′ x − 0 | | + f ′ x + 0 | | − f x minimum f x maximum remarques Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse en changeant de signe est importante.
La fonction « partie entière » n'est donc pas continue en 1 1 (en fait, elle est discontinue en tout point d'abscisse entière). Fonction « partie entière »
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Si f f est une fonction continue sur un intervalle [ a; b] \left[a;b\right] et si y 0 y_{0} est compris entre f ( a) f\left(a\right) et f ( b) f\left(b\right), alors l'équation f ( x) = y 0 f\left(x\right)=y_{0} admet au moins une solution sur l'intervalle [ a; b] \left[a; b\right]. Remarques
Ce théorème dit que l'équation f ( x) = y 0 f\left(x\right)=y_{0} admet une ou plusieurs solutions mais ne permet pas de déterminer le nombre de ces solutions. Démonstration : lien entre dérivabilité et continuité - YouTube. Dans les exercices où l'on recherche le nombre de solutions, il faut utiliser le corollaire ci-dessous. Cas particulier fréquent: Si f f est continue et si f ( a) f\left(a\right) et f ( b) f\left(b\right) sont de signes contraires, l'équation f ( x) = 0 f\left(x\right)=0 admet au moins une solution sur l'intervalle [ a; b] \left[a; b\right] (en effet, si f ( a) f\left(a\right) et f ( b) f\left(b\right) sont de signes contraires, 0 0 est compris entre f ( a) f\left(a\right) et f ( b) f\left(b\right)).
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Horaires *
Date: du 02 juin 2022 au 02 juin 2022
(*): Les manifestations pouvant être supprimées, annulées, ajournées, prenez contact avec les organisateurs avant de vous déplacer.