$u(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)$ et $u'(x)=\frac{1}{4}\times (-1)=-\frac{1}{4}$. $v(x)=\sqrt{x}$ et $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. $g'(x) =-\frac{1}{4}\times \sqrt{x}+\frac{1}{4}\times (1-x)\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$
On remarque que $h$ est la différence de deux fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$: $x\mapsto \frac{x}{2}$ et $x\mapsto (2x+1)\ln{x}$. Somme d un produit chez l'éditeur. Cette dernière peut s'écrire comme le produit de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $]0;+\infty[$. $u(x)=2x+1$ et $u'(x)=2$. $v(x)=\ln{x}$ et $v'(x)=\frac{1}{x}$. h'(x) & =\frac{1}{2}-\left(2\times \ln{x}+(2x+1)\times \frac{1}{x}\right) \\
& = \frac{1}{2}-2\ln{x}-(2x+1)\times \frac{1}{x}
Au Bac
On utilise cette méthode pour résoudre:
(prochainement disponible)
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Somme D Un Produit Chez L'éditeur
$
Enoncé Soient $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. On définit deux suites $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ en posant:
$$A_n=\sum_{k=0}^n a_k, \quad\quad b_n=B_{n+1}-B_n. $$
Démontrer que $\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k. $
En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n 2^kk$. Sommes doubles
Enoncé Soit $(a_{i, j})_{(i, j)\in\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels. Intervertir les sommes doubles suivantes:
$S_1=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{i, j}$;
$S_2=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i}a_{i, j}$;
$S_3=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^m a_{i, j}$ où on a supposé $n\leq m$. Enoncé Calculer les sommes doubles suivantes:
$\sum_{1\leq i, j\leq n}ij$. $\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\frac ij$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$ et $u_n=\sum_{k=1}^n S_k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=(n+1)S_n-n$. Distinguer Somme, Différence, Produit et Quotient. Enoncé En écrivant que
$$\sum_{k=1}^n k2^k=\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k 2^k, $$
calculer $\sum_{k=1}^n k2^k$.
Somme D Un Produit Bancaire
Reconnaître une somme et un produit - Quatrième - YouTube
Somme D Un Produit
appliquer les formules de dérivation ci-dessus. Remarques
il est important de savoir qu'une division par un réel n'est rien d'autre qu'une multiplication par l'inverse de ce réel. Cela simplifie grandement la vie! Ainsi $\frac{f(x)}{3}=\frac{1}{3}\times f(x)$ et on entre dans le cadre d'un produit par un réel (qui est plus facile à dériver qu'un quotient). il est également important de savoir qu'une différence est une somme avec l'opposé et que l'opposé n'est rien d'autre que le produit par $-1$. Somme d un produit bancaire. Ainsi $2-f(x)=2+(-f(x))=2+(-1)\times f(x)$ et on peut utiliser les formules de dérivation d'une somme et d'un produit par un réel. De façon générale, les remarques précédentes valident l'utilisation de la formule $(f-g)'=f'-g'$. Un exemple en vidéo
D'autres exemples pour s'entraîner Niveau facile
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$ et $m$ sur les intervalles indiqués ( ces intervalles sont simplement des ensembles sur lesquels on est autorisé à dériver, ils n'interviennent pas dans le calcul de dérivée).
Enoncé Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a
$$(n+1)! \geq\sum_{k=1}^n k! \quad. $$
Enoncé Pour $n\in\mathbb N^*$ et $x\in\mathbb R$, on note
$$P_n(x)=\prod_{k=1}^n \left(1+\frac xk\right). $$
Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$, $P_n(-n)$? Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a
$$P_n(x)=\frac {x+n}xP_n(x-1). Calculs algébriques - sommes et produits - formule du binôme. $$
Pour $p\in\mathbb N^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme. Enoncé Soit pour $n\in\mathbb N$, $u_n=(-2)^n$. Calculer les sommes suivantes:
$$\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{2k};\quad \sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n);\quad \left(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\right)+n;\quad \sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{kn}. $$
Enoncé
Simplifier la somme $\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mtn^*$, on a
$$S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^k k=\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}. $$
Retrouver le résultat précédent. Enoncé Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Calculer $S_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k.
$h(x)=\frac{2e^{x}-3}{4}$ sur $\mathbb{R}$. $k(x)=4-\frac{\ln(x)}{2}$ sur $]0;+\infty[$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On remarque que $f(x)=\frac{-1}{2}\times x+3x^2-5x^4+\frac{1}{5}\times x^5$. Ainsi, pour tout $x\in \mathbb{R}$,
f'(x) & =\frac{-1}{2}\times 1+3\times 2x-5\times 4x^3+\frac{1}{5}\times 5x^4 \\
& =\frac{-1}{2}+6x-20x^3+x^4
$g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. On remarque que $g(x)=3\times u(x)$ où $u(x)=x^2-\frac{5}{2}\times \frac{1}{x}$. Par conséquent, pour tout $x\in]0;+\infty[$,
g'(x) & =3\times u'(x) \\
& = 3\times \left(2x-\frac{5}{2}\times \frac{-1}{x^2} \right) \\
& = 3\times \left(2x+\frac{5}{2x^2} \right) \\
& = 6x+\frac{15}{2x^2}
$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Somme d un produit. On remarque que $h(x)=\frac{1}{4}\times u(x)$ où $u(x)=2e^{x}-3$. Par conséquent, pour tout $x\in \mathbb{R}$,
h'(x) & =\frac{1}{4}\times u'(x) \\
& = \frac{1}{4}\times (2e^{x}) \\
& = \frac{2e^{x}}{4} \\
& = \frac{e^{x}}{2}
$k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. On remarque que $k(x)=4-\frac{1}{2}\times \ln(x)$.
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