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- Limite suite geometrique
- Limites suite géométrique saint
- Limites suite géométrique 2
- Carte a planter mamie et
Limite Suite Geometrique
Attention! Une suite divergente ne tend pas forcément vers l'infini. Exemple: u n = (-1)n oscille et n'a de limite ni finie, ni infinie. Propriétés:
1° la limite finie d'une suite lorsqu'elle existe est unique. 2° une suite qui converge est bornée. Et conséquence de 2°, en utilisant sa contraposée:
3° si une suite n'est pas bornée alors elle diverge. Car d'après 2°:si elle convergeait, elle serait bornée. la réciproque du 2° est fausse. En effet, si nous reprenons l'exemple du dessus: -1 un 1; Et pourtant la suite diverge. 2/ Théorèmes de convergence
Théorèmes de convergence monotone:
* Si ( u n) est croissante et majorée alors ( u n) converge. Limites suite géométrique 2. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si ( u n) est décroissante et minorée alors ( u n) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. Remarque:
Savoir que la suite converge ne donne en rien sa limite mais permet dans certains cas d'appliquer des théorèmes qui permettent de la calculer.
Limites Suite Géométrique Saint
3. Somme de termes consécutifs d'une suite
géométrique
a. Première formule
On considère la suite géométrique
( u n) de
raison 1, 2 et de premier terme u 0 = – 4. Calculons la somme S = u 3 + u 4 + … + u 15. L'expression de u n en
fonction de n est u n = u 0 ×
q n = –4 × (1, 2) n. Les suites - Mathématiques - BTS CG. Ainsi, la somme S s'écrit
S = –4 ×
(1, 2) 3 – 4 × (1, 2) 4
… – 4 ×
(1, 2) 15
et, en factorisant par –4 × (1, 2) 3,
on obtient:
S = –4 × (1, 2) 3 [1 + 1, 2 + … + (1, 2) 12]
En utilisant la formule 1 + q + q 2 + q 3 + …
+ q n = on obtient:
S n = u 0 + … +
u n =
u 0 ×
S pn = u p + … +
u p ×
On peut bien sûr retenir ces formules, mais on
les retrouve rapidement en combinant le terme
général d'une suite
géométrique et la somme des
premières puissances de la raison q.
b. Deuxième formule
Soit ( u n) une suite
et n et
p deux
entiers naturels. Propriétés
Soit S
u p +
u p +1 + … +
u n une somme de
termes consécutifs d'une suite. Le nombre de termes de cette somme est n – p
+ 1. Le premier terme de cette somme est u p.
Si cette suite est géométrique de raison
q, alors on
peut mémoriser cette somme par:
S
= 1 er
terme ×
géométrique de raison 4 telle que
u 5 = 1.
Limites Suite Géométrique 2
Déterminer la limite de cette suite. On sait que Un s'écrit: $U_n=-4\times 2^n$ $q>1$ donc on peut écrire que: $\lim_{n\to +\infty} 2^n=+ \infty$ Comme $U_0<0$, on en déduit que: $\lim_{n\to +\infty} U_n=- \infty$ Exemple 2: (Vn) est une suite géométrique de raison $q=0, 98$ et de premier terme $V_0=100000$. Calculer la limite de (Vn). Exercice, variation et limite de suite - Géométrique, algorithme - Terminale. $-1
cas n°1
Si q = 1 q = 1, q n = 1 q^n = 1 quel que soit n n. Alors:
lim q n = 1 n → + ∞ ⇔ lim v 0 × q n v 0 n → + ∞ ⇔ lim v n = v 0 n → + ∞ \large \lim\limits {\stackrel{n \to +\infty}{q^n=1}} \Leftrightarrow \lim\limits {\stackrel{n \to +\infty}{v 0\times q^nv 0}} \Leftrightarrow \lim\limits {\stackrel{n \to +\infty}{v n=v_0}}
cas n°2
Si q < − 1 q < -1, la suite est alternée, c'est-à-dire qu'elle change de signe entre deux termes consécutifs. Lorsque n tend vers l'infini, la valeur absolue |qn| tend vers l'infini. Prenons le cas où v 0 v 0 est positif: pour n positif, v 0 × q n v 0 \times q^n tend vers + ∞ +\infty et pour n n négatif, v 0 × q n v_0 \times q^n tend vers − ∞ -\infty. La limite de ( v n) (v n) quand n n tend vers l'infini n'existe pas. Limite d'une suite géométrique: cours et exemples d'application. De même pour v 0 v 0 négatif. Remarque:
Si q = − 1 q = -1. La suite est alternée car soit n n est pair et q n = 1 q^n = 1, soit n n est impair et q n = − 1 q^n=-1. La limite de ( v n) (v n) quand n n tend vers plus l'infini n'existe pas.
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