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1 minute pour apprendre à reconnaitre une somme d'un produit - YouTube
Somme D Un Produit Produits
On aurait envie que $(u\times v)'$ soit égal à $u'\times v'$! Malheureusement, il est très faux d'écrire cela et c'est une erreur commise par de nombreux élèves. La clé: bien identifier que l'on est en présence d'un produit. Le produit d'une fonction par un réel peut être vu comme le produit de deux fonctions (dont l'une est constante). On peut donc utiliser cette formule pour dériver $2\times f$ mais cela revient à utiliser un outil élaboré pour réaliser une opération très simple. Somme d un produit. En effet,
$(2\times f)'=0\times f+2\times f'=2\times f'$ (et nous le savions déjà). Conclusion: on utilise la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions lorsqu'aucune des deux n'est constante. Un exemple en vidéo
D'autres exemples pour s'entraîner Niveau facile
Dériver la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis factoriser l'expression obtenue par $e^x$. $f(x)=x\times e^x$
Voir la solution On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. $u(x)=x$ et $u'(x)=1$. $v(x)=e^x$ et $v'(x)=e^x$.
Somme D Un Produit Plastic
Calculer explicitement $u_n$, puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$. Enoncé Pour $n\in\mathbb N^*$ et $x\in\mathbb R$, on note
$$P_n(x)=\prod_{k=1}^n \left(1+\frac xk\right). $$
Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$, $P_n(-n)$? Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a
$$P_n(x)=\frac {x+n}xP_n(x-1). $$
Pour $p\in\mathbb N^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme. Somme ou produit ? - Maths-cours.fr. Enoncé Soit pour $n\in\mathbb N$, $u_n=(-2)^n$. Calculer les sommes suivantes:
$$\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{2k};\quad \sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n);\quad \left(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\right)+n;\quad \sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{kn}. $$
Simplifier la somme $\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mtn^*$, on a
$$S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^k k=\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}. $$
Retrouver le résultat précédent. Enoncé Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Calculer $S_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k. $
En déduire la valeur de $T_n(x)=\sum_{k=0}^n k x^k.
Somme D Un Produit Cosmetique
$
Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^n \binom np 2^p=3^n$. Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{k=1}^{2n}\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=0. $
Quel est le coefficient de $a^2b^4c$ dans le développement de $(a+b+c)^7$? Calculer la somme
$$\binom{n}0+\frac12\binom{n}1+\dots+\frac{1}{n+1}\binom{n}{n}. $$
Soient $p, q, m$ des entiers naturels, avec $q\leq p\leq m$. En développant de deux façons
différentes $(1+x)^m$, démontrer que
$$\binom{m}{p}=\binom{m-q}p+\binom{q}1\binom{m-q}{p-1}+\dots+\binom{q}k\binom{m-q}{p-k}+\dots+\binom{m-q}{p-q}. $$
Enoncé Soient $n, p$ des entiers naturels avec $n\geq p$. Démontrer que
$$\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}=\dbinom{n+1}{p+1}. $$
Enoncé Calculer $(1+i)^{4n}$. Somme du produit de 2 colonnes avec condition. En déduire les valeurs de
$$\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \dbinom{4n}{2p}\textrm{ et}\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \dbinom{4n}{2p+1}. $$
Soient $m, k$ deux entiers naturels. Justifier que
$$\binom{m+k}{m}=\binom{m+k+1}{m+1}-\binom{m+k}{m+1}. $$
En déduire, pour tous entiers naturels $m, n\in\mathbb N^*$, la valeur de
$$S=\sum_{k=0}^n \binom{m+k}{m}.
Somme D Un Produit Marketing
appliquer les formules de dérivation ci-dessus. Remarques
il est important de savoir qu'une division par un réel n'est rien d'autre qu'une multiplication par l'inverse de ce réel. Cela simplifie grandement la vie! Ainsi $\frac{f(x)}{3}=\frac{1}{3}\times f(x)$ et on entre dans le cadre d'un produit par un réel (qui est plus facile à dériver qu'un quotient). Somme d un produit produits. il est également important de savoir qu'une différence est une somme avec l'opposé et que l'opposé n'est rien d'autre que le produit par $-1$. Ainsi $2-f(x)=2+(-f(x))=2+(-1)\times f(x)$ et on peut utiliser les formules de dérivation d'une somme et d'un produit par un réel. De façon générale, les remarques précédentes valident l'utilisation de la formule $(f-g)'=f'-g'$. Un exemple en vidéo
D'autres exemples pour s'entraîner Niveau facile
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$ et $m$ sur les intervalles indiqués ( ces intervalles sont simplement des ensembles sur lesquels on est autorisé à dériver, ils n'interviennent pas dans le calcul de dérivée).
Somme D Un Produit Scalaire
$
Enoncé Soient $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. On définit deux suites $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ en posant:
$$A_n=\sum_{k=0}^n a_k, \quad\quad b_n=B_{n+1}-B_n. $$
Démontrer que $\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k. $
En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n 2^kk$. Sommes doubles
Enoncé Soit $(a_{i, j})_{(i, j)\in\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels. Reconnaître une somme, un produit ou une différence – Video-Maths.fr. Intervertir les sommes doubles suivantes:
$S_1=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{i, j}$;
$S_2=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i}a_{i, j}$;
$S_3=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^m a_{i, j}$ où on a supposé $n\leq m$. Enoncé Calculer les sommes doubles suivantes:
$\sum_{1\leq i, j\leq n}ij$. $\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\frac ij$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$ et $u_n=\sum_{k=1}^n S_k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=(n+1)S_n-n$. Enoncé En écrivant que
$$\sum_{k=1}^n k2^k=\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k 2^k, $$
calculer $\sum_{k=1}^n k2^k$.
$f(x)=x^2+x^3$ sur $\mathbb{R}$. $g(x)=\frac{1}{x}-\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$. $h(x)=x-\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$. $k(x)=1+x-x^2$ sur $\mathbb{R}$. $m(x)=e^{x}-\ln(x)$ sur $]0;+\infty[$. Voir la solution
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{align}
f'(x) & =2x^1+3x^2 \\
& =2x+3x^2
\end{align}$
$g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Somme d un produit en marketing. Pour tout $x\in]0;+\infty[$,
$g'(x) =-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Pour tout $x\in]0;+\infty[$,
h'(x) & =1-\left(-\frac{1}{x^2}\right) \\
& =1+\frac{1}{x^2}
$k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$,
k'(x) & =0+1-2x \\
& =1-2x
$m$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Pour tout $m\in]0;+\infty[$,
$m'(x)=e^{x}-\frac{1}{x}$
Niveau facile
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$ et $m$ sur les intervalles indiqués. $f(x)=2x^5$ sur $\mathbb{R}$. $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{3}$ sur $]0;+\infty[$. $h(x)=\frac{-4}{5x}$ sur $]0;+\infty[$. $k(x)=\frac{e^{x}}{5}$ sur $\mathbb{R}$.