Comment peut-on montrer qu'une suite est croissante? décroissante? constante? Qu'est-ce qu'une suite majorée? minorée? bornée? Quelles méthodes peut-on utiliser pour montrer qu'une suite est convergente? Comment montre-t-on qu'une suite est arithmétique? Pour une suite arithmétique de raison r r, quelle formule permet de calculer u n u_n en fonction de u 0 u_0? en fonction de u p u_p ( p ∈ N) (p \in \mathbb{N})? Les suites - Cours. Que vaut la somme: 1 + 2 + 3 + ⋯ + n 1+2+3+\cdots+n? Comment montre-t-on qu'une suite est géométrique? Pour une suite géométrique de raison q q, quelle formule permet de calculer u n u_n en fonction de u 0 u_0? en fonction de u p u_p ( p ∈ N) (p \in \mathbb{N})? Que vaut la somme: 1 + q + q 2 + ⋯ + q n 1+q+q^2+\cdots+q^n? Quelle est (en fonction de q q) la limite de q n q^n? Écrire un algorithme affichant les n n premiers termes d'une suite. Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence? Réponses
Voici 3 des principales méthodes:
Calcul de u n + 1 − u n u_{n+1} - u_n.
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But: déterminer le nombre de solution d'une équation et déterminer les valeurs approchées de ces solutions. Méthode
ALGORITHMIE ET PYTHON:
ALGO, Suites et PYTHON: Enoncé ALGO, Suites et PYTHON: Enoncé Fonctions et PYTHON: Enoncé Calcul intégral et PYTHON: Enoncé Dénombrement et PYTHON: Enoncé
Fiches mémorisation et automatismes:
Fiche méthode suite au DM1 sur KWYK: Enoncé + Correction Pour gagner en automatismes, suite au contrôle: Enoncé et correction Fiche mémorisation sur les suites Pour gagner en automatismes sur les limites et signe d'une expression: Enoncé Fiche mémorisation sur les limites de fonctions.
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Prérequis: Tu auras besoin, dans ce chapitre, d'avoir bien compris le fonctionnement des suites (définie par récurrence ou explicitement), de savoir
utiliser les suites arithmétiques et géométriques. Enjeu: En complétant les notions vues en 1 re S, on va fournir des résultats sur le comportement en des suites. Ces résultats seront une première étape dans l'étude des limites de fonctions. Il est donc très important d'avoir bien compris ce chapitre. On verra également un nouveau type de raisonnement (par récurrence) qui permettra de démontrer des résultats que les raisonnements classiques
ne permettent pas toujours d'obtenir. Suites et récurrences. - Cours - Fiches de révision. 1 Limite d'une suite
Lorsqu'on calcule les différents termes d'une suite, on a parfois l'impression que les valeurs semblent tendre vers une valeur particulière, parfois non. Le but de cette partie est de fournir une base théorique à cette notion de valeur limite. Cela signifie qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont aussi proches de qu'on le souhaite.
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Suite croissante majorée ou décroissante minorée. Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente. De même, une suite décroissante et minorée est convergente. Théorème des gendarmes (Voir cours). Fiche sur les suites terminale s programme. Si la suite ( u n) (u_n) est définie de façon explicite on peut calculer la limite en utilisant les règles de calculs des limites (similaires à celles utilisées pour les fonctions). Dans ce cas, gardez aussi à l'esprit la formule donnant la limite de q n q^n (voir ci-dessous)
Pour montrer que la suite ( u n) (u_n) est arithmétique on calcule u n + 1 − u n u_{n+1} - u_n et on montre que le résultat est constant (indépendant de n n). Ce résultat est la raison de la suite arithmétique. En fonction de u 0: u n = u 0 + n r u_0~:~u_n=u_0+nr
En fonction de u p: u n = u p + ( n − p) r u_p~:~u_n=u_p+(n - p)r
1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1) 2 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
Comment montre-t-on qu'une suite ( u n) (u_n) est géométrique? On montre qu'il existe un réel q q, indépendant de n n, tel que pour tout entier naturel n n: u n + 1 = q u n u_{n+1}=qu_n.
Théorème de comparaison
Démonstration:
On ne va montrer que le premier point, le second fonctionnant de la même façon. On appelle le rang à partir du quel on a. Soit un réel. Puisque, il existe un rang tel que,
pour tout entier naturel,. On appelle le maximum de et. Ainsi pour tout entier naturel on a. Par conséquent. Exemple: On considère la suite définie pour tout entier naturel par
Pour tout entier naturel, on a. Par conséquent
Et finalement. Or donc d'après le théorème de comparaison on a. Fiche sur les suites terminale s variable. Soit un intervalle ouvert contenant. On appelle le rang à partir duquel
La suite converge vers. On appelle le rang à partir duquel tous les termes de la suite
appartiennent à. On appelle le plus grand des trois entiers et. Par conséquent, pour tout entier naturel, l'intervalle contient tous les termes
et. De plus on a. Donc. Les termes de la suite compris entre ceux des deux suites et
tendent vers la même limite. Exemple: On considère la suite définie pour tout entier naturel par. Du fait que pour tout entier naturel on a donc.
Propriété:
On considère une suite arithmétique de raison r et de premier terme. Si alors
Si alors (la suite est constante)
Avant de fournir un résultat concernant les limites des suites géométriques, voyons un résultat intermédiaire utile. Propriété: Soit a un réel strictement positif. Alors pour tout entier naturel n on a:
Nous allons utiliser un raisonnement par récurrence. Initialisation: Prenons. Alors. et. Par conséquent, on a bien
La propriété est donc vraie au rang. Conclusion: La propriété est vraie au rang et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel n, on a:. Ce résultat est utile pour démontrer le dernier point de cette propriété:
On ne montrera que le dernier point. Puisque cela signifie qu'il existe un réel stictement positif tel que. Fiche sur les suites terminale s france. La suite est géométrique. Par conséquent, pour tout entier naturel on a:
D'après la propriété précédente, on a
Or. D'après le théorème de comparaison,
Exemple: On considère la suite définie par. La suite est donc géométrique de raison.
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