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6/ Déplacements
Si une transformation f est un déplacement alors:
f est soit une translation soit une rotation d'angle non nul. f déplacement est une similitude directe de rapport 1, donc f s'écrit: z' = az + b avec lal = 1
Et nous avons montré que:
- si a = 1: alors f est la translation de vecteur d'affixe b.
Et il est à remarquer que:
- si b ≠ 0: f n'admet
aucun point fixe. - si b = 0: f = Id et
tout point du plan est fixe..
- si a ≠ 1: alors a s'écrit a = ei 0 avec 0 non nul car a ≠ 1.
f admet alors un
unique point fixe d'affixe
f = r o h avec r = r (; 0) et h = h (; lal). Or: h = Id donc f = r. Concours INFAS Privé 2022, Voici Les Documents à Fournir Et Les Conditions à Remplir Pour S'inscrire | EspaceTutos™. Dans ce cas là, f est donc une rotation d'angle non nul. Conséquence:
Un déplacement admettant un point fixe est soit l'identité, soit une rotation d'angle non nul. En effet, d'après le listage fait lors de la démonstration du théorème: - soit f est un déplacement admettant un unique point fixe auquel cas il s'agit d'une rotation d'angle non nul. - soit f est un déplacement avec plus d'un point fixe auquel cas il s'agit de l'identité.
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Le rang d'une famille de vecteurs est invariant par opération élémentaire. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. L'application rang, de dans, est semi-continue inférieurement. La plus grande fonction convexe fermée qui minore le rang sur la boule, où (on a noté le vecteur des valeurs singulières de) est la restriction à cette boule de la norme nucléaire. De manière plus précise, si l'on définit par, où est l' indicatrice de, alors sa biconjuguée s'écrit [ 2], [ 3]. Sans restriction du rang à un ensemble, on obtient, une identité de peu d'utilité. Cas où le corps des scalaires n'est pas commutatif [ modifier | modifier le code]
Dans ce qui précède, on a supposé que le corps des scalaires est commutatif. Rang (algèbre linéaire) — Wikipédia. On peut étendre la notion de rang d'une matrice au cas où le corps des scalaires n'est pas forcément commutatif, mais la définition est un peu plus délicate. Soient un corps non forcément commutatif et une matrice à m lignes et n colonnes à coefficients dans.
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Soutien maths - Similitudes directes
Cours maths Terminale S
Après de brefs rappels concernant les similitudes en général, on choisit dans ce module de s'intéresser exclusivement au cas des similitudes directes. 1/ Rappels
On appelle
similitude ( plane) toute transformation du plan qui conserve les rapports de distances. Théorème:
Une transformation du plan est une similitude si et seulement si elle multiplie les distances par un réel k,
strictement positif.. Ce réel k est appelé
le rapport de la similitude. Maths : Nombres complexes et similitude directe du plan - cours et exemples corrigés - YouTube. L'identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales les symétries axiales, encore appelées réflexions, sont des similitudes. Attention! Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport lkl
Une similitude de rapport 1 conserve les distances, elle est appelée
isométrie. L'identité, les translations, les rotations, les réflexions sont des isométries La symétrie centrale est un cas particulier de rotation, c'est donc une isométrie. Les similitudes conservent les angles géométriques.