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Ensembles d'entiers
L'ensemble des entiers positifs, aussi appelés entiers naturels, est noté \(\mathbb{N}\). \(\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}\) L'ensemble des entiers relatifs est noté \(\mathbb{Z}\). \(\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}\)
Exemple: \(5\) est un entier naturel. On notera cela \(5\in\mathbb{N}\). En revanche, \(-3\) n'est pas un entier naturel, ce qui se notera \(-5\not\in\mathbb{N}\). Exemple: Tous les entiers naturels sont également des entiers relatifs. On dit que l'ensemble \(\mathbb{N}\) est inclus dans l'ensemble \(\mathbb{Z}\), ce que l'on note \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\). Multiples et diviseurs
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs. On dit que \(a\) est un multiple de \(b\) s'il existe un entier relatif \(k\) tel que \(a=bk\). On dit également que \(b\) est un diviseur de \(a\) ou que \(b\) divise \(a\). Exemple: Prenons \(a=-56\) et \(b=7\).
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Exemples: `-1/3; 5/7; -2 + 1/3` sont des nombres rationnels. Remarque: tous les décimaux sont des nombres rationnels. `2/7 = 0, 285714285714285714` est un nombre rationnel sa période est égale à 285714
L'ensemble des nombres rationnels se note: `QQ`
4) Les nombres irrationnels
Définition: Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'un quotient de nombres entiers. Exemples: `√2; √3; \pi` sont des nombres irrationnels. L'ensemble constitué des nombres rationnels et irrationnels s'appelle l'ensemble des nombres réels. Il se note: `RR`
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On sait que \(-56=7\times -8\). On a donc trouvé un entier relatif \(k\), en l'occurrence \(-8\), tel que \(a=bk\). \(-56\) est donc un multiple de \(7\). Pour s'entraîner…
Soit \(a\) un entier relatif, \(m\) et \(n\) deux multiples de \(a\). Alors \(m+n\) est aussi un multiple de \(a\). Démonstration: On commence par traduire les hypothèses:
\(m\) est un multiple de \(a\): il existe un entier relatif \(k\) tel que \(m=ka\). \(n\) est un multiple de \(a\): il existe un entier relatif \(k'\) (potentiellement différent de \(k\)) tel que \(n=k'a\). Ainsi, \(m+n=ka+k'a=(k+k')a\). Or, \(k+k'\) est la somme de deux entiers relatifs, c'est donc un entier relatif. Si on note \(k'^{\prime}=k+k'\), on a alors \(m+n=k'^{\prime}a\): \(m+n\) est donc un multiple de \(a\). Exemple: \(777\) est un multiple de \(7\). En effet, \(777 = 111 \times 7\). \(7777\) est également un multiple de \(7\). Ainsi, \(777 + 7777\) est également un multiple de \(7\). Pour s'entraîner sur cette partie du cours:
Les exercices 1 à 7 de la fiche d'exercices
Parité
Soit \(a\in\mathbb{Z}\).
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Le processus s'arrête quand on obtient 0,
le PGCD est alors le dernier nombre non nul. Exemple:
d'un PGCD par divisions successives: algorithme d'Euclide
Cette méthode est basée
sur le fait qu'un diviseur de deux entiers naturels a et b, est aussi
un diviseur de b et du reste de la division euclidienne de a par b.
On réitère jusqu'à obtenir un reste nul, le PGCD
est alors le dernier reste non nul. Remarque:
A travers cet exemple, on perçoit l'efficacité de cet
algorithme par rapport à celui des soustractions successives,
puisqu'il permet d'arriver à la réponse en trois
étapes au lieu de six précédemment. Aussi, on
priviligiera systématiquement cet algorithme, quand on a le
choix. 2. Nombres premiers entre eux. Fractions irréductibles. 2. 1. Nombres premiers entre eux. Définition: Deux
nombres entiers non nuls sont dits premiers entre eux si leur PGCD
vaut 1. Exemples:
135
et 75 ne sont pas premiers entre eux car leur PGCD vaut 15. 45
et 28 sont premiers entre eux car leur PGCD vaut 1. 2.
de deux
chiffres? de trois chiffres? de quatre chiffres? Quel est le plus grand nombre de cinq chiffres? le plus petit? Combien faut-il de chiffres pour numroter un livre
de 156 pages? EVA L UATION:
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Le 11/02/2015 à 15h13
Membre ultra utile
Env. 70000 message
3 X Cote D'or = 63! Bonjour,
du placo pour un VS? m'étonnerait, en tout cas ce n'est pas un exemple à suivre. vous parlez bien d'un plancher bois sur VS (= vide sanitaire) = le rez de chaussée d'une maison? Messages: Env. 70000
De: 3 X Cote D'or = 63! Ancienneté: + de 16 ans
Cyrou Auteur du sujet
Le 11/02/2015 à 16h38
Pour, certains disent de fixer du placo hydro sous bastaings. Tout savoir sur Isolation vide sanitaire avec chauffage au sol conditions - Isolation Sous Sol. Oui tout à fait, VS pour Vide Sanitaire
Mais les sons de cloche varient tellement que je ne sais vraiment a quoi me fier... Le 17/02/2015 à 09h05
Pas de retours d'expérience a ce sujet?? Des personnes ont-elles déjà eu le cas?
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