Des exercices de maths en terminale S sur les équations différentielles. Exercice 1 – Equations différentielles et condition initiale
Résoudre les équations différentielles suivantes:
1. 2. 3. 4. Exercice 2 – Problème sur les équations différentielles
Soit (E) l'équation différentielle et
1. Vérifier que la fonction définie par est solution de (E). 2. Résoudre l'équation différentielle (Eo). 3. Montrer que u est solution de (E) est solution de (Eo). 4. En déduire les solutions de (E). 5. Déterminer la solution f de (E) qui s'annule en 1. Exercice 3 – Déterminer la solution d'une équation différentielle
Déterminer la solution de 2y ' + y = 1 telle que y(1) = 2. Exercice 4 – Résoudre cette équation différentielle
Résoudre l'équation différentielle 2y ' + y = 1
Exercice 5 – Premier ordre
1. Résoudre l'équation diérentielle(E): y ' = – 2y. 2. En déduire la solution de (E) dont la courbe représentative admet, au point d'abscisse 0,
une tangente parallèle à la droite d'équation y = – 4x + 1.
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cours des équations différentielles avec des exercices corrigés pour le terminale. Généralités
Une équation différentielle s'écrit sous la forme d'une égalité dans laquelle figure une fonction y= 𝑓 (x), sa dérivée y ' =𝑓 '(x) ou ses dérivées successives. on appelle une équation différentielle d'ordre 1 si la dérivée première est seule à figurer dans l'équation
exemple: y ' = a. y + b avec a ≠ 0 a, b: réels (y = 𝑓; y' = 𝑓 ')
on appelle une équation différentielle d'ordre 2 lorsque la dérivée seconde figure dans l' équation
exemple: y » + a. y ' + b. y = 0 a, b: réels ( y =𝑓; y ' = 𝑓 '; y '' =𝑓 '')
Nous considérons a et b comme des constantes réels pour toutes les équations différentielles à étudier. Résolution de l'équation différentielle d'ordre 1: 𝒚′+𝒂𝒚=b
Soit a, b: deux valeurs constants réels ( a ≠ 0)
Résoudre l'équation différentielle 𝒚′ + 𝒂𝒚 = b c'est de déterminer toutes les fonctions définies et dérivable sur ℝ qui vérifient cette égalité. Solution générale de l'équation différentielle 𝒚′ + 𝒂𝒚 = 𝟎
Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par: y= 𝑓(𝑥) = k e -a x où k ∈ ℝ
Exemple
Déterminer les fonctions, dérivables sur ℝ, solutions de l'équation différentielle: y ' + 2 y = 0.
Enoncé Trouver toutes les fonctions $f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ continues vérifiant, pour tout $x>0$,
$$\frac12\int_0^x f^2(t)dt=\frac1x\left(\int_0^x f(t)dt\right)^2. $$
Enoncé En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de
$$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt. $$
On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$. Pour les Terminales S
Enoncé On se propose de chercher toutes les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$, dérivables, et vérifiant:
$$\forall x\in\mathbb R, y'(x)+2y(x)=x+1. $$
On notera $(E)$ cette équation. Équation homogène. On va d'abord chercher toutes les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$, dérivables,
et vérifiant
$$\forall x\in\mathbb R, \ y'(x)+2y(x)=0. $$
On notera $(H)$ cette équation. Soit $C\in\mathbb R$. Vérifier que la fonction $x\mapsto C\exp(-2x)$ est solution de $(H)$. Réciproquement, soit $y$ une solution de $(H)$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R$,
$f(x)=y(x)\exp(2x)$. Démontrer que $f$ est constante.
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