- les rotations d'angle 0 sont des similitudes d'angle 0. Réciproque:
Si s est une similitude telle que: pour tous points distincts A et B du plan d'images respectives A' et B', l'angle
est constant, alors s est une similitude directe. Démonstration: Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d'images respectives A', B', C' et D'. Or, l'angle orienté entre un vecteur et son image est constant,
s est une similitude qui conserve les angles orientés, elle est donc directe. 3/ Écriture complexe d'une similitude directe
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé de sens direct
Théorème: soit transformation du plan. Si f est une similitude directe de rapport k et d'angle 0 alors:
alors f admet une écriture complexe de la forme: z' = az + b avec a = keio
Soit f similitude directe de rapport k et d'angle 0. Il est à remarquer que si f a pour écriture: z' = az + b alors O a pour image O' d'affixe b.
Appelons donc b l'affixe de O' image de O par f et soit M'(z') image de M(z) par f.
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6/ Déplacements
Si une transformation f est un déplacement alors:
f est soit une translation soit une rotation d'angle non nul. f déplacement est une similitude directe de rapport 1, donc f s'écrit: z' = az + b avec lal = 1
Et nous avons montré que:
- si a = 1: alors f est la translation de vecteur d'affixe b.
Et il est à remarquer que:
- si b ≠ 0: f n'admet
aucun point fixe. - si b = 0: f = Id et
tout point du plan est fixe..
- si a ≠ 1: alors a s'écrit a = ei 0 avec 0 non nul car a ≠ 1.
f admet alors un
unique point fixe d'affixe
f = r o h avec r = r (; 0) et h = h (; lal). Or: h = Id donc f = r. Dans ce cas là, f est donc une rotation d'angle non nul. Conséquence:
Un déplacement admettant un point fixe est soit l'identité, soit une rotation d'angle non nul. En effet, d'après le listage fait lors de la démonstration du théorème: - soit f est un déplacement admettant un unique point fixe auquel cas il s'agit d'une rotation d'angle non nul. - soit f est un déplacement avec plus d'un point fixe auquel cas il s'agit de l'identité.
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Alors: O'M' = k OM donc: Soit: De plus: Donc: arg (z' - b) - arg (z - 0) = 0
Soit:
est le nombre complexe de module k et d'argument 0 donc:
D'où f s'écrit: z' = az + b avec a = keio
Et k ≠ 0 donc a ≠ 0. Réciproque: soient a et b nombres complexes. Toute transformation f admettant une écriture de la forme: z' = az + b avec
a ≠ 0
est une similitude directe de rapport k = lal et d'angle 0 = arg a
Démonstration: Soient M et N points quelconques du plan d'images respectives M' et N ' par s.
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similitude directe toute similitude qui conserve les angles orientés. Une isométrie directe est appelée
un déplacement. L'identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales
sont des similitudes directes. similitude indirecte toute similitude qui transforme tout angle en son opposé. Une isométrie indirecte est appelée un
anti-déplacement. Les réflexions sont des similitudes indirectes
2/ Angle d'une similitude directe
Propriété:
Si s est une similitude directe alors:
quels que soient les points distincts A et B du plan, d'images respectives A' et B',
l'angle est constant. Cet angle est appelé
angle de la similitude. Démonstration:
Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d'images respectives A', B', C' et D'. Or, s similitude directe conserve les angles orientés,
donc: On a donc:
L'angle entre un vecteur et son vecteur image est bien constant. - les translations, l'identité et les homothéties de rapport k >0 sont des similitudes d'angle nul. - les homothéties de rapport k et les symétries centrales sont des similitudes d'angle.
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Je n'ai pas eu d'eau potable pendant plus de deux jours, est-ce que l'assureur peut nous dédommager? PHOTO Mathilde Seigner sur la tombe d'Yves Rénier : elle lui adresse un bouleversant message - Voici. « Si on parle d'une résidence où il n'y a pas d'eau potable, mais que la résidence demeure habitable, c'est-à-dire qu'il n'y a pas eu de dommage comme tel à la résidence, malheureusement, non, il n'y a rien, précise Marie-Ève Vézina. Pas de frais de relocalisation ou de remboursement de frais de déplacement pour aller acheter des bouteilles d'eau. »
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