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On peut aussi le contourner en ne considérant que des polynômes irréductibles; tout polynôme réel de degré impair doit avoir un facteur irréductible de degré impair, qui (n'ayant pas de racines multiples) doit avoir une racine réelle selon le raisonnement ci-dessus. Ce corollaire peut aussi être prouvé directement en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires. Preuve
Une preuve du théorème est la suivante:
Considérons le polynôme
où tous les a r sont réels. Supposons un nombre complexe ζ est une racine de P, qui est P ( ζ) = 0. Il doit être démontré que
ainsi que. Si P ( ζ) = 0,
qui peut être mis comme
À présent
et étant donné les propriétés de conjugaison complexe,
Depuis,
il s'ensuit que
C'est-à-dire,
Notez que cela ne fonctionne que parce que les a r sont réels, c'est-à-dire. Si l'un des coefficients n'était pas réel, les racines ne viendraient pas nécessairement par paires conjuguées. équation à racines complexes conjuguées? , exercice de algèbre - 645809. Remarques
Racines Complexes Conjugues Dans
\)
Exemple
Examinons sans plus attendre un exemple, tiré de l'épreuve du bac STI (GE, GET, GO) de décembre 2004, Nouvelle-Calédonie (pour des équations avec la forme algébrique, voir les équations de degré 2 dans \(\mathbb{C}\)). Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, résoudre l'équation d'inconnue \(z\): \(2z^2 + 10z + 25\) \(= 0. \) Écrire les solutions de cette équation sous la forme \(re^{i\theta}, \) où \(r\) est un nombre réel positif et \(\theta\) un nombre réel. La première partie de la question réclame une simple application des formules. Racines complexes conjugues du. Le discriminant est égal à \(10^2 - (4 \times 2 \times 25) = -100\)
\({z_1} = \frac{{ - 10 + 10i}}{{2 \times 2}}\) \(= - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i\)
\({z_2} = \frac{{ - 10 - 10i}}{{2 \times 2}}\) \(= - \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i\)
La deuxième partie de la question aurait davantage sa place en page de forme polaire des complexes mais traitons-la pour le plaisir. Calculons le module de \(z_1\) selon une procédure bien rôdée:
\(|z_1|\) \(=\) \(\left| { - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i} \right|\) \(=\) \(\frac{5}{2}\left| {i - 1} \right|\) \(=\) \(\frac{5}{2}\sqrt {\left| { - 1 - {1^2}} \right|}\) \(=\) \(\frac{{5\sqrt 2}}{2}\)
Quel peut bien être l'argument?
Notes et références [ modifier | modifier le code]
↑ Dahan-Dalmedico, A. et Peiffer, J., Une histoire des mathématiques, Points Sciences, Seuil Ed.
↑ Warusfel, A., Les nombres et leurs mystères, Points Sciences, Seuil Ed. Articles connexes [ modifier | modifier le code]
Équation polynomiale
Théorie des équations (histoire des sciences)
Théorie des équations (mathématiques)
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