Le son est de nature ondulatoire. Il correspond à une vibration qui se propage dans le temps. Pourtant, quand on écoute un instrument de musique, on n'entend pas une vibration (fonction du temps),
mais une note, c'est-à-dire une fréquence. Notre oreille a donc pesé le poids relatif de chaque fréquence dans le signal temporel:
elle a calculé la transformée de Fourier du signal original. Définition: Soit $f$ une fonction de $L^1(\mathbb R)$. On appelle
transformée de Fourier de $f$, qu'on note $\hat f$ ou $\mathcal F(f)$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par:
Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier,
la normalisation peut changer. On rencontre par exemple souvent la définition:
Des facteurs $2\pi$ ou $\sqrt{2\pi}$ pourront changer dans les propriétés qu'on donne ci-après. Propriétés
Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb R)$. On a le tableau suivant:
$$
\begin{array}{c|c}
\textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\
\hline
f(x)e^{i\alpha x}&\hat f(t-\alpha)\\
f(x-\alpha)&e^{-it\alpha}\hat f(t)\\
(-ix)^n f(x)&\hat f^{(n)}(t)\\
f^{(p)}(x)&(it)^p \hat f(t)\\
f\star g&\sqrt{2\pi} \hat f \cdot \hat g\\
f\cdot g&\frac 1{\sqrt{2\pi}}\hat f\star \hat g\\
f\left(\frac x{\lambda}\right)&|\lambda|\hat f(\lambda t).
Le module convertit le domaine temporel donné en domaine fréquentiel. La FFT de longueur N séquence x[n] est calculée par la fonction fft(). Par exemple, from scipy. fftpack import fft
import numpy as np
x = ([4. 0, 2. 0, 1. 0, -3. 5])
y = fft(x)
print(y)
Production: [5. 5 -0. j 6. 69959347-2. 82666927j 0. 55040653+3. 51033344j
0. 55040653-3. 51033344j 6. 69959347+2. 82666927j]
Nous pouvons également utiliser des signaux bruités car ils nécessitent un calcul élevé. Par exemple, nous pouvons utiliser la fonction () pour créer une série de sinus et la tracer. Pour tracer la série, nous utiliserons le module Matplotlib. Voir l'exemple suivant. import
import as plt
N = 500
T = 1. 0 / 600. 0
x = nspace(0. 0, N*T, N)
y = (60. 0 * 2. 0**x) + 0. 5*(90. 0**x)
y_f = (y)
x_f = nspace(0. 0/(2. 0*T), N//2)
(x_f, 2. 0/N * (y_f[:N//2]))
()
Notez que le module est construit sur le module scipy. fftpack avec plus de fonctionnalités supplémentaires et des fonctionnalités mises à jour. Utilisez le module Python pour la transformée de Fourier rapide Le fonctionne de manière similaire au module.
Enfin, si f est $\mathcal C^k$, il existe une constante $A>0$ telle que:
$$\forall x\in \mathbb R, \ |\hat f(x)|\leq \frac A{(1+|x|)^p}. $$
On dit que la transformée de Fourier échange la régularité et la décroissance en l'infini. Transformées de Fourier classiques
Inversion de la transformée de Fourier
Sous certaines conditions, il est possible d'inverser la transformée de Fourier, c'est-à-dire de retrouver $f$ en connaissant $\hat f$. Théorème: Si $f$ et $\hat f$ sont tous deux dans $L^1(\mathbb R)$, on pose:
Alors $g$ est une fonction continue sur $\mathbb R$, et $g=f$ presque partout. On en déduit que deux fonctions intégrables qui ont même transformée de Fourier sont égales presque partout.
Tableau Transformée De Fourier Et Transformee De Laplace
1
T1 = 2
T2 = 5
t = np. arange ( 0, T1 * T2, dt)
signal = 2 * np. cos ( 2 * np. pi / T1 * t) + np. sin ( 2 * np. pi / T2 * t)
# affichage du signal
plt. plot ( t, signal)
# calcul de la transformee de Fourier et des frequences
fourier = np. fft ( signal)
n = signal. size
freq = np. fftfreq ( n, d = dt)
# affichage de la transformee de Fourier
plt. plot ( freq, fourier. real, label = "real")
plt. imag, label = "imag")
plt. legend ()
Fonction fftshift ¶
>>> n = 8
>>> dt = 0. 1
>>> freq = np. fftfreq ( n, d = dt)
>>> freq
array([ 0., 1. 25, 2. 5, 3. 75, -5., -3. 75, -2. 5, -1. 25])
>>> f = np. fftshift ( freq)
>>> f
array([-5., -3. 25, 0., 1. 75])
>>> inv_f = np. ifftshift ( f)
>>> inv_f
Lorsqu'on désire calculer la transformée de Fourier d'une fonction \(x(t)\) à l'aide d'un ordinateur, ce dernier ne travaille que sur des valeurs discrètes, on est amené à:
discrétiser la fonction temporelle,
tronquer la fonction temporelle,
discrétiser la fonction fréquentielle.
linspace ( tmin, tmax, 2 * nc)
x = np. exp ( - alpha * t ** 2)
plt. subplot ( 411)
plt. plot ( t, x)
# on effectue un ifftshift pour positionner le temps zero comme premier element
plt. subplot ( 412)
a = np. ifftshift ( x)
# on effectue un fftshift pour positionner la frequence zero au centre
X = dt * np. fftshift ( A)
# calcul des frequences avec fftfreq
n = t. size
f = np. fftshift ( freq)
# comparaison avec la solution exacte
plt. subplot ( 413)
plt. plot ( f, np. real ( X), label = "fft")
plt. sqrt ( np. pi / alpha) * np. exp ( - ( np. pi * f) ** 2 / alpha), label = "exact")
plt. subplot ( 414)
plt. imag ( X))
Pour vérifier notre calcul, nous avons utilisé une transformée de Fourier connue. En effet, pour la définition utilisée, la transformée de Fourier d'une gaussienne \(e^{-\alpha t^2}\) est donnée par:
\(\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}\)
Exemple avec visualisation en couleur de la transformée de Fourier ¶
# visualisation de X - Attention au changement de variable
x = np.
array ([ x, x])
y0 = np. zeros ( len ( x))
y = np. abs ( z)
Y = np. array ([ y0, y])
Z = np. array ([ z, z])
C = np. angle ( Z)
plt. plot ( x, y, 'k')
plt. pcolormesh ( X, Y, C, shading = "gouraud", cmap = plt. cm. hsv, vmin =- np. pi, vmax = np. pi)
plt. colorbar ()
Exemple avec a[2]=1 ¶
Exemple avec a[0]=1 ¶
Exemple avec cosinus ¶
m = np. arange ( n)
a = np. cos ( m * 2 * np. pi / n)
Exemple avec sinus ¶
Exemple avec cosinus sans prise en compte de la période dans l'affichage
plt. plot ( a)
plt. real ( A))
Fonction fftfreq ¶
renvoie les fréquences du signal calculé dans la DFT. Le tableau freq renvoyé contient les fréquences discrètes en nombre de cycles par pas de temps. Par exemple si le pas de temps est en secondes, alors les fréquences seront données en cycles/seconde. Si le signal contient n pas de temps et que le pas de temps vaut d:
freq = [0, 1, …, n/2-1, -n/2, …, -1] / (d*n) si n est pair
freq = [0, 1, …, (n-1)/2, -(n-1)/2, …, -1] / (d*n) si n est impair
# definition du signal
dt = 0.
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Sujet: Table des Transformées de Fourier (Lu 1015 fois)
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redKas
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« le: novembre 25, 2017, 11:03:20 pm »
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