Exercice 2 (5 points)
Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois. Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe C f \mathscr{C}_{ f} représentatif de la fonction f f définie sur l'intervalle [ − 1; 2] [ - 1~;~2] par:
f ( x) = ( − x + 2) e x.
f( x)=( - x+2)\text{e}^{ x}. Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe C f \mathscr{C}_{ f}. On nomme L L la longueur de la plaque rectangulaire et l \mathscr{l} sa largeur. Sujet Bac Fonction exponentielle | Bienvenue sur Mathsguyon. On note f ′ f^{\prime} la fonction dérivée de f f. Montrer que pour tout réel x x de l'intervalle [ − 1; 2] [ - 1~;~2], f ′ ( x) = ( − x + 1) e x. f^{\prime} ( x)=( - x+1)\text{e}^{ x}. En déduire le tableau de variations de la fonction f f sur [ − 1; 2]. [ - 1~;~2]. La longueur L L de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur l \mathscr{l} exacte en centimètres.
Sujet Bac Maths Fonction Exponentielle Des
3. On considère la partie du plan comprise entre la droite D, la courbe C f et les droites d'équations x = -3 et x = 0. On désigne par A la valeur, exprimée en cm 2, de l'aire de cette partie. Calculer A. LE CORRIGÉ
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET? Etude d'une fonction exponentielle suivie d'un calcul d'aire. II - LE DEVELOPPEMENT
PARTIE A
1. a) Les coordonnées du point A sont (-3, 0) et celles du point B sont (0, 3). Comme les points A et B appartiennent à la courbe C f alors f (-3) = 0 et f (0) = 3.
b) Le coefficient directeur de la droite (AB) est
d'où a = 1
De plus l'ordonnée à l'origine de la droite (AB) est 3. Donc l'équation de la droite (AB) est: y = x + 3. 2. Sujet bac maths fonction exponentielle program. a) f ( x) = ( ax 2 + bx + c) e -x.
Posons
u ( x) = ax 2 + bx + c
v ( x) = e -x
u ' ( x) = 2 ax + b
v ' ( x) = - e -x
Comme f = uv alors f ' = u ' v + v'u. On a donc pour tout réel x:
f ' ( x) = (2 ax + b) e - x - e - x ( ax 2 + bx + c)
f ' ( x) = (2 ax + b - ax 2 - bx - c) e - x
D'où f ' ( x) = (- ax 2 + (2 a - b) x + b - c) e - x.
b) On en déduit:
f ' (0) = b - c.
Sujet Bac Maths Fonction Exponentielle De
3. f est strictement croissante sur l'intervalle [-1; 0] de plus f (-1) = 0 et f (0) = 3. Donc f réalise une bijection de l'intervalle [-1; 0] vers l'intervalle [0; 3]. Comme 2 appartient à l'intervalle [0; 3] alors il existe un réel unique a
appartenant à
l'intervalle [-1; 0] solution de l'équation f (x) = 2:
A l'aide d'une calculatrice on en déduit que
-0, 53 <
a
<
-0, 52. En effet, f (-0, 53) »
1, 972 et f (-0, 52) »
2, 002
PARTIE C
1. F (x) = (- x 2 - 6 x - 9) e -x
Pour montrer que F est une primitive de f il suffit de montrer que F ' = f.
F ' ( x) = (- 2x - 6) e - x - (- x 2 - 6 x - 9) e - x
F ' ( x) = (-2 x - 6) e - x + ( x 2 + 6 x + 9) e - x
F ' ( x) = (-2 x - 6 + x 2 + 6 x + 9) e - x
F ' ( x) = ( x 2 + 4 x + 3) e - x
On a bien F ' ( x) = f ( x). Donc F est une primitive de f sur. Sujet bac maths fonction exponentielle de. 2. g ( x) = x + 3 - f ( x). Une primitive G de la fonction g sur est définie par:
3.
unités d'aire
A = 13, 5 cm 2. III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Un problème très classique où l'autocontrôle était toujours possible.
Sujet Bac Maths Fonction Exponentielle Au
b) Résoudre le système et en déduire l'expression de f ( x) en fonction de x. Partie B
On suppose que f est définie sur par f ( x) = ( x 2 + 4 x + 3) e - x. 1. a) Vérifier que pour x différent de zéro,. b) Déterminer la limite de la fonction f en + ¥. En déduire une asymptote à la courbe C f.
c) Déterminer la limite de la fonction f en - ¥. 2. a) Vérifier que pour tout x appartenant à f ' ( x) = (- x 2 - 2 x + 1) e - x.
b) Pour tout x réel, étudier le signe de f '( x) et dresser le tableau de variations de la fonction f.
c) Calculer une valeur approchée à 10 -1 près de l'ordonnée de chacun des points de la courbe C f où la
tangente est parallèle à l'axe des abscisses. Sujet bac maths fonction exponentielle au. 3. Montrer que l'équation f ( x) = 2 admet une solution unique a
pour x appartenant à [-1; 0]. Donner un encadrement de a
d'amplitude 10 -2. Partie C
1. Soit F la fonction définie sur par F( x) = (- x 2 - 6 x - 9) e - x. Montrer que F est une primitive de f sur. 2. En déduire une primitive G de la fonction g sur définie par g ( x) = x + 3 - f ( x).
On trace la parallèle à l'axe des ordonnés passant par, elle coupe en, la tangente cherchée est la droite. 3. b) Il s'agit du cas où
Merci à Panter pour avoir élaboré cette fiche Publié le 23-10-2019
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