4). Mais on peut aussi en donner une preuve directe:
Notons l'intégrale de. Alors,. Si est une extrémité de, la fonction est constante presque partout et le résultat est immédiat. Supposons donc que est intérieur à. Dans ce cas (propriété 10 du chapitre 1) il existe une minorante affine de qui coïncide avec au point:
Composer cette minoration par, qui est intégrable et à valeurs dans, permet non seulement de montrer que l'intégrale de est bien définie dans (celle de sa partie négative étant finie), mais aussi d'établir l'inégalité désirée par simple intégration:. On déduit entre autres de ce théorème une forme intégrale de l'inégalité de Hölder qui, de même, généralise l'inégalité de Hölder discrète ci-dessus: cf. Exercice 1-5.
Inégalité De Convexité Exponentielle
Forme intégrale [ modifier | modifier le code]
Cas particulier [ modifier | modifier le code]
Inégalité de Jensen —
Soient g une fonction continue de [0, 1] dans] a, b [ (avec –∞ ≤ a < b ≤ +∞) et φ une fonction convexe de] a, b [ dans ℝ. Alors,. Cet énoncé a un sens car sous ces hypothèses, l'intégrale de g appartient à [ a, b] et φ ∘ g est continue sur [0, 1] donc intégrable. Théorie de la mesure [ modifier | modifier le code]
Inégalité de Jensen [ 1], [ 2] —
Soient
(Ω, A, μ) un espace mesuré de masse totale μ(Ω) égale à 1,
g une fonction μ-intégrable à valeurs dans un intervalle réel I et
φ une fonction convexe de I dans ℝ. Alors,
l'intégrale de droite pouvant être égale à +∞ [ 3]. Cet énoncé a un sens car sous ces hypothèses, l'intégrale de g appartient à I. Lorsque φ est strictement convexe, les deux membres de cette inégalité sont égaux (si et) seulement si g est constante μ- presque partout [ 4]. De ce théorème on déduit, soit directement [ 2], [ 5], soit via l' inégalité de Hölder, une relation importante entre les espaces L p associés à une mesure finie de masse totale M ≠ 0:,
avec égalité si et seulement si est constante presque partout.
Inégalité De Connexite.Fr
En reprenant l'inégalité du a) avec
a = a j p ∑ i = 1 n a i p et b = b j q ∑ i = 1 n b i q
puis en sommant les inégalités obtenues, on obtient celle voulue. Exercice 8 1403
Soient x 1, …, x n des réels positifs. Établir
1 + ( ∏ k = 1 n x k) 1 / n ≤ ( ∏ k = 1 n ( 1 + x k)) 1 / n . En déduire, pour tous réels positifs a 1, …, a n, b 1, …, b n
( ∏ k = 1 n a k) 1 / n + ( ∏ k = 1 n b k) 1 / n ≤ ( ∏ k = 1 n ( a k + b k)) 1 / n . Exercice 9 4688
(Entropie et inégalité de Gibbs)
On dit que p = ( p 1, …, p n) est une distribution de probabilité de longueur n lorsque les p i sont des réels strictement positifs de somme égale à 1. On introduit alors l' entropie de cette distribution définie par
H ( p) = - ∑ i = 1 n p i ln ( p i) . Soit p une distribution d'entropie de longueur n. Vérifier
0 ≤ H ( p) ≤ ln ( n) . Soit q une autre distribution d'entropie de longueur n. Établir l'inégalité de Gibbs
H ( p) ≤ - ∑ i = 1 n p i ln ( q i) . Exercice 10 2823 MINES (MP)
(Inégalité de Jensen intégrale) Soient f: I → ℝ une fonction convexe continue 1 1
1
Lorsqu'une fonction convexe est définie sur un intervalle ouvert, elle est assurément continue (voir le sujet 4687).
Inégalité De Convexity
(2016: 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n'est pas attendu dans le plan. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d'optimisation, au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d'un convexe,... Par ailleurs, l'inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités. Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d'uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $ p > 1$, par exemple, et de leurs conséquences. Plans/remarques:
2020: Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. Plan de Owen
Auteur:
Références:
Analyse, Gourdon
Analyse numérique et optimisation: une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
Analyse fonctionelle, Brézis
Cours d'analyse, Pommelet
Analyse.
Note obtenue:
15. 75
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Mint Julep est facile à préparer à la maison, mais le goût de la boisson ne sera apprécié que par les connaisseurs de bars expérimentés qui en ont marre des classiques. Composition: bourbon – 60 ml; menthe – 12 feuilles fraîches; sucre glace – 1 c. à thé; eau (sans gaz) – 2 cuillères à café; glace pilée – 150 grammes. cuisson Placez la menthe au fond du verre pré-refroidi. Ajouter le sucre glace et l'eau. Pétrir le madler à la menthe pour dissoudre le sucre. Versez 40 ml de bourbon. Remplissez le verre de glace jusqu'au sommet. Cocktail avec jus de tomate et rhum sur. Remuez le cocktail avec une cuillère jusqu'à ce que les parois du verre (mug) soient en sueur. Ajoutez 20 ml de bourbon, ajoutez un peu de glace (sommet du verre). Remuer légèrement. Décorer avec un brin de menthe.
Cocktail Avec Jus De Tomate Et Rhum Sur
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Ustensiles
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Réalisez la recette "Ruddy Mary" dans un verre à mélange. Agiter les ingrédients dans un verre à mélange avec des glaçons (pour refroidir sans trop diluer). Verser dans le verre, puis ajouter à convenance sel de céleri, sel et poivre. Listes de cocktails par catégories avec et sans alcool, aux fruits…. Décorer avec une tige de céleri et optionellement, une rondelle de citron. Servir.. Servir dans un verre de type "tumbler". Un cornichon et une rondelle de citron. En panne d'inspiration? Dans la même sélection
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