1
1-Pour tout x ∈ R, on a e x > 0. 2-Pour tout y ∈ R + *, e x = y si et seulement si x = ln( y). 3-Pour tout x ∈ R, on a ln (e x) = x. 4-Pour tout x ∈ R + *, on a eln( x) = x. Démonstration:
(1) D'après la définition de la fonction exponentielle, e x est le réel strictement positif y tel que
x = ln( y). Donc e x = y > 0. (2) Même démonstration que le point précédent. (3) Soit x ∈ R. D'après la définition 7. 1, on a e x = y avec ln( y) = x. Donc ln(e x) = ln( y) = x. (4) On pose y = ln( x). On a e y = z > 0 avec ln( z) = y = ln( x). Or x > 0 et z > 0 donc,
ln( z) = ln( x) si et seulement si x = z. Donc x = z = e y = e ln( x). Propriété 7. 2
Pour tous réels a et b on a:
e a = e b si et seulement si a = b.
e a < e b si et seulement si a < b.
On pose y a = e a et y b = e b les réels strictement positifs tels que ln ( y a) = a et ln ( y b) = b. On a
donc:
7. 3 Courbe représentative
Propriété 7. 3 (admise)
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonction logarithme népérien et
exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
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Se lit: « L » « N » de y. La fonction logarithme népérien sera l'objet d'étude d'un futur module. Ce qu'il est important de comprendre pour l'instant d'un point de vue purement pratique, est que:
tout nombre réel y strictement positif peut s'écrire sous forme exponentielle:
y = exp(x) avec x = ln y
Autrement dit que:
Tout nombre réel y > 0 peut s'écrire: y = exp(ln y)
Conséquence n° 2:
Quels que soient a et b réels:exp(a) = exp(b) ⇔ a = b
Démonstration
Sens réciproque: si a = b alors exp(a) = exp(b). Sens direct:
Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur] 0; [ signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel
tel que exp(x) = y. Soient a et b réels tels que exp(a) = exp(b). exp(a) > 0, posons y = exp(a). Si b ≠ a alors il existe deux réels distincts qui ont pour image y par la fonction exponentielle. Ce qui est contraire qu fait que exp soit une bijection de R sur] 0; [ donc a = b.
Utilisation pratique:
Cette équivalence va nous permettre de résoudre des équations du type: exp (x) = k
- si k > 0 alors k peut s'écrire k = exp (ln k) et l'équation devient: exp (x) = exp (ln k)
D'où: x = ln k, d'après l'équivalence.
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1. Définition
Il existe une seule fonction dérivable sur telle que:
On appelle cette fonction la fonction exponentielle
et on la note. On note le nombre par. D'où:
Exemple:
Soit la fonction définie
par alors
2. Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle
3. Propriétés algébriques
Soit et deux nombres réels et
un nombre entier naturel. On a les
propriétés algébriques
suivantes:
Exemple
Ces propriétés algébriques peuvent
être mémorisées en pensant aux
propriétés des puissances et elles se
démontrent en utilisant la relation fonctionnelle
de la fonction exponentielle. Preuves:
( n facteurs)
(somme de n termes de
a)
4. Le nombre e
Le nombre e
est un nombre réel défini par e 1 = e.
La notation e
est la valeur exacte de ce nombre. Sa valeur
approchée est
Remarque: par combinaison, les valeurs e n sont
aussi des valeurs exactes. Montrons que. On a donc
Résoudre dans l'équation. Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur
approchée à 0, 01 près. 5. Signe de exp(x) pour tout nombre réel x
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Et dans le cas très particulier où k=1, on peut se passer du logarithme népérien:
exp (x) = 1 ⇔ exp (x) = exp (0) ⇔ x = 0
4/ Inéquations de la fonction exponentielle
exp (a)
Sens réciproque:
si a R: exp(a)
Soient a et b réels tels que:
exp(a)
Montrons par l'absurde que a
Supposons a > b
on aurait alors, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R: exp(a) > exp(b). Ce qui est contraire à l'hypothèse: exp(a). Équivalence qui peut être élargie en la combinant à la conséquence n° 2: Quels que soient a et b réels: exp(a) exp(b) ⇔ a b
Ces équivalences vont nous permettre, dans certains cas, de résoudre des inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle. Si l'inéquation est par exemple: exp (x) > 3
3 > 0 donc il peut être écrit: 3 = exp (ln 3)
Et l'inéquation devient: exp (x) > exp (ln3) ⇔ x > ln 3
Une valeur approchée de ln3 pouvant être trouvée à la calculatrice si besoin est.
Fonction Exponentielle Terminale Es
A partir de cette propriété on montre également que pour tout [latex]q > 0[/latex] et tous réels [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex]:
[latex]q^{x-y}=\frac{q^{x}}{q^{y}} [/latex] (en particulier [latex]q^{-y}=\frac{1}{q^{y}}[/latex])
[latex]\left[q^{x}\right] ^{y}=q^{xy}[/latex]
ce qui généralise les propriétés vues au collège. La courbe de la fonction [latex]x\mapsto q^{n}[/latex] s'obtient en reliant les points de coordonnées [latex]\left(n, q^{n}\right)[/latex]. Pour [latex]n\geqslant 0[/latex] ces points représentent la suite géométrique de premier terme [latex]u_{0}=1[/latex] et de raison [latex]q[/latex]. Fonction exponentielle de base [latex]q=1, 4[/latex]
(les points correspondent à la suite géométrique [latex]u_{0}=1[/latex] et [latex]q=1. 4[/latex])
Propriété
Pour tout réel [latex]x[/latex] et tout réel [latex]q > 0[/latex], [latex]q^{x}[/latex] est strictement positif. Pour [latex]q > 1[/latex], la fonction [latex]x \mapsto q^{x}[/latex] est strictement croissante sur [latex]\mathbb{R}[/latex]
Pour [latex]0 < q < 1[/latex], la fonction [latex]x \mapsto q^{x}[/latex] est strictement décroissante sur [latex]\mathbb{R}[/latex]
Fonction exponentielle de base [latex]q > 1[/latex]
Fonction exponentielle de base [latex]0 < q < 1[/latex]
Remarque
Pour [latex]q=1[/latex], la fonction [latex]x \mapsto q^{x}[/latex] est constante et égale à [latex]1[/latex].
Dans le repère orthonormé ci-dessus, le point M est le point de C ln d'abscisse y. Ses coordonnées sont donc M ( y; ln( y)). Son symétrique par rapport à ∆: y = x est le point N de coordonnées N (ln( y); y). On a donc
y N = exp( x N) car exp( x N) = exp(ln( y)) = y d'après la propriété 7. Donc N ∈ C exp.
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Salle Pratt & Whitney Canada (Théâtre de la Ville)
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La Salle Pratt & Whitney Canada est la plus grande des deux salles du Théâtre de la Ville, à Longueuil. Il s'agit de l'ancien auditorium du Collège Édouard-Montpetit qui est devenu la Salle Pratt & Whitney Canada en 1997, à la suite de rénovations majeures. La Salle Pratt & Whitney Canada peut accueillir jusqu'à 911 spectateurs. On peut y voir notamment les concerts de l'Orchestre symphonique de Longueuil, ainsi qu'une multitudes de spectacles de musique, théâtre, conférences de la série Les Grands Explorateurs et plus. Salle Pratt & Whitney Canada (Théâtre de la Ville) – Octobre 2022
Les Grands Explorateurs Theatre De Ville Longueuil Quebec
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