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Variation relative de volume [ modifier | modifier le code]
Variation de volume réelle (haut) et approchée (bas): le dessin en vert montre le volume estimé et le dessin en orange le volume négligé
Considérons un prisme élémentaire engendré par trois vecteurs. Sa transformée par est le prisme engendré par. Soit V 0 celui du prisme initial et V le volume de la transformée. Dessin symétrique animaux à imprimer. On a, au premier ordre:
La variation relative de volume est
Dans le cas des petites déformations, et det(F) - 1 est égal au premier ordre à la trace de, qui est égale à la trace du tenseur:
On peut retrouver ce résultat en se plaçant dans la base des directions principales de déformation. Considérons un cube d'arête a. Après déformation on a un quasi-parallélépipède de volume:
alors que:
ce qui donne:
comme on est en très faible déformation,
1 >> ε ii >> ε ii ·ε jj >> ε 11 ·ε 22 ·ε 33
d'où le résultat. On dit qu'il y a cisaillement pur lorsque la trace est nulle, autrement dit lorsqu'il n'y a pas de variation de volume.
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D'où:
On obtient donc, au premier ordre:
On pose:
est l'opérateur des déformations de Green -Lagrange. Il s'agit d'un tenseur symétrique réel, donc diagonalisable dans une base orthonormée. Les directions propres sont appelées directions principales de déformation. Si on introduit le vecteur déplacement
on obtient:
en notant la dérivée partielle de
et donc:
Cas des petites déformations [ modifier | modifier le code]
Tenseur des déformations linéarisées [ modifier | modifier le code]
Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on néglige les termes du second ordre et on obtient le tenseur des déformations linéarisé:
Sous forme de composantes dans une base orthonormée:
Interprétation des termes diagonaux [ modifier | modifier le code]
Allongement du segment par déformation linéaire. Les termes diagonaux sont les allongements relatifs dans la direction i (selon l'axe x i). Dessin symétrique a imprimer video. Prenons le cas d'un segment [ AB], parallèle à l'axe x 1, et intéressons-nous à la partie de la déformation également parallèle à x 1, que nous noterons [ A'B'].
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ATELIERS SYMBOUCHONS manipulation: Pour cet atelier, il est nécessaire d'avoir un stock de bouchons. Les fiches sont à plastifier puis à coller par deux à l'intérieur d'une pochette, les élèves manipulent seuls ou à plusieurs en plaçant les bouchons. Il y a deux ateliers: l'un avec l'axe de symétrie horizontal, l'autre vertical. …
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Une déformation est dite incompressible si elle s'effectue sans variation de volume en tout point du corps. En particulier, les déformations plastiques s'effectuent sans variation de volume. Déformations principales [ modifier | modifier le code]
Il existe une base orthonormée telle que le tenseur des contraintes est une matrice diagonale (voir Matrice symétrique > Décomposition spectrale):. Dessin symétrique cochon à imprimer. Les directions sont appelées directions principales, et les déformations ε I, ε II et ε III sont les déformations principales. Les déformations principales sont les valeurs propres du tenseur, et les directions propres, ses vecteurs propres. Les valeurs propres λ vérifient l'équation
où I est la matrice identité; les déformations principales sont donc les solutions en λ de cette équation. Rappelons que la trace est invariante par changement de base (voir Matrices semblables), donc
et ainsi en petites déformations, la variation relative de volume vaut
Contrairement aux contraintes principales, la notion de déformation principale est assez peu utilisée pour le calcul.
L'allongement relatif vaut (exprimée en distances algébriques):
Sachant que
et
où est la composante de selon l'axe x 1, cet allongement vaut:
On reconnaît un taux d'accroissement de la fonction, et si l'on se place en petites déformations, on peut remplacer ce taux d'accroissement par la dérivée de, ce qui donne:
De manière plus générale:
Coefficients dus au cisaillement [ modifier | modifier le code]
Effet de déplacement par le cisaillement. Les autres termes ( i ≠ j) sont les, demi-variations de l'angle droit d'un petit volume de matière cubique avant déformation. 46 idées de Symétrie axiale | symétrie, axe de symétrie, géométrie. En effet, un carré ABCD, où [ AB] est parallèle à x 1 et [ AD] est parallèle à x 2, se transforme en un losange AB'C'D', symétrique selon la première bissectrice du plan. La tangente de l'angle vaut:. Pour les petites déformations, on a
ainsi que
avec u 2 ( A) = 0. Ainsi,
Si l'on considère maintenant le segment [ AD]:
Une rotation n'étant pas une déformation, on peut supposer que les deux angles sont égaux, quitte à faire pivoter le losange et ainsi
Note: dans l'article Déformation élastique, l'angle défini vaut le double de l'angle défini ici.