La plupart des résultats sur la fonction (variations, symétrie, signe…) se démontrent grâce à l'une ou l'autre des formes canoniques. Forme factorisée [ modifier | modifier le code]
Une fonction du second degré peut parfois s'écrire sous une des formes factorisées suivantes:
si et seulement si le discriminant ∆ vu à la section précédente est strictement positif;
si et seulement si ∆ est nul;
Si le discriminant est négatif, la fonction n'est pas factorisable dans ℝ [ Note 1]. Avec,,
En effet, si l'on part de la forme canonique, on obtient
pour Δ strictement positif, en appliquant la troisième identité remarquable:
et pour Δ nul, directement
La forme factorisée est intéressante car elle permet, par l'application du théorème de l' équation produit-nul de résoudre l'équation f ( x) = 0 sur ℝ ou ℂ, ou par l'application de la règle des signes de dresser un tableau de signes de f sur ℝ, donc de résoudre une inéquation du second degré. Équation et inéquation du second degré [ modifier | modifier le code]
Une équation du second degré est une équation équivalente à, où est une fonction du second degré.
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Tableau De Signe D Une Fonction Du Second Degré C
Dans ce cas, les nombres, et, suivant le vocabulaire des polynômes, sont respectivement appelés coefficients du second degré, du premier degré et terme constant. Les termes, et sont les monômes respectivement de degré 2, 1 et 0. Sous cette forme constituée de trois monômes, la fonction est souvent appelée trinôme du second degré. Forme canonique [ modifier | modifier le code]
Toute fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique, où la variable x n'apparaît qu'une seule fois. Chacune des deux expressions suivantes peut être nommée forme canonique, ces expressions ne diffèrent que par une factorisation par a:
Les nombres et correspondent respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du sommet de la parabole représentative du trinôme. Le nombre, quant à lui, est appelé discriminant et souvent noté. En effet,
En appliquant la première identité remarquable, on a:
Les formes canoniques sont particulièrement intéressantes car elles permettent d'écrire la fonction du second degré comme une composée de fonctions affines avec la fonction carré.
Tableau De Signe D Une Fonction Du Second Degré En
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Tableaux de signe [ modifier | modifier le wikicode]
Définition
Étudier le signe d'une expression algébrique f(x) dépendant de x,
c'est déterminer pour quelles valeurs de x on a
et pour quelles valeurs de x on a. Étudier le signe d'une fonction f revient à étudier le signe de l'expression. Une étude de signe peut se résumer dans un tableau de signe
Signe d'un binôme du premier degré [ modifier | modifier le wikicode]
Théorème
Le signe d'un binôme du premier degré est donné par les tableaux de signe suivants, selon le signe du coefficient dominant a. Si:
Si
Exemples [ modifier | modifier le wikicode]
Construire les tableaux de signe des binômes suivants:
Signe d'un produit [ modifier | modifier le wikicode]
Propriété
Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, on utilise la règle des signes. Exemple [ modifier | modifier le wikicode]
Pour étudier le signe du produit, on construit un tableau à 4 lignes:
Exercice [ modifier | modifier le wikicode]
Étudier le signe des produits suivants:
Signe d'un quotient [ modifier | modifier le wikicode]
Le signe d'un quotient s'étudie comme celui d'un produit, à ceci près qu'on exclut par une "double-barre" les valeurs interdites.
Tableau De Signe D Une Fonction Du Second Degré Celsius
La réciproque est en partie vraie: quelle que soit une parabole donnée, il est possible de choisir un repère orthonormé du plan pour lequel il existe une fonction du second degré dont la parabole est le graphe. Les variations et la forme de la parabole présentent deux cas, suivant le signe du coefficient de second degré a. Si a est positif
La parabole admet un minimum; la fonction est décroissante sur l'intervalle puis croissante. Les coordonnées du minimum sont. La parabole est tournée « vers le haut »: pour tous points A et B appartenant à la parabole, le segment [AB] est situé au-dessus de cette courbe. Une fonction répondant à ces propriétés est dite convexe. Si a est négatif
La parabole admet un maximum et les variations de la fonction sont inversées par rapport au cas précédent: d'abord croissante, puis décroissante. Les coordonnées du maximum sont aussi. La parabole est tournée « vers le bas ». La fonction est dite concave. Fonctions de la forme f ( x) = ax 2 pour a égal à 0, 1; 0, 3; 1 et 3.
Tableau De Signe D Une Fonction Du Second Degré De
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par hekla re: signe d'une fonction polynôme du second degré 20-10-21 à 22:13 Bonsoir
Vous ne répondez pas aux questions Citation: a) Définir la position de la courbe Cf par rapport à l'axe des abscisses. ce que vous avez fait est utile. La conclusion est si x appartient à ou à la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses
en 2/3 et 1 la courbe coupe l'axe et entre 2/3 et 1 la courbe est en dessous
On ne vous demande pas le signe de
Que vaut
Posté par kikipopo re: signe d'une fonction polynôme du second degré 21-10-21 à 08:06 Bonjour,
Je n'ai vu votre réponse que ce matin. Je n'avais pas reçu d'alerte dans ma boîte. Je vais reprendre vers 15h. Merci. Posté par hekla re: signe d'une fonction polynôme du second degré 21-10-21 à 10:46 Bonjour
Si vous parlez de racines il vaut mieux dire les racines du trinôme
si vous parlez d'équation il vaut mieux parler de solutions
L'extremum n'est pas demandé
la courbe est un objet géométrique, elle n'a donc pas de signe
Le trinôme est du signe de a (a=)
En revanche la fois suivante vous écrivez le contraire
Il faut toujours garder la valeur exacte.
Tableau De Signe D Une Fonction Du Second Degré Video
Je vais m'entrainer pour LaTeX. Il faut aussi apprendre un autre langage mais je ne sais pas où le trouver. J'ai aussi essayé les tableaux mais le résultat n'est pas correct. Bonne soirée. Posté par hekla re: signe d'une fonction polynôme du second degré 21-10-21 à 23:18 Il n'y a pas de problème pour l'exercice? Les tableaux sont assez difficiles à faire sur le site. Il n'y a pas toutes les possibilités de Latex
Bonne soirée et bonnes vacances
Posté par kikipopo re: signe d'une fonction polynôme du second degré 21-10-21 à 23:41 Je vais réécrire l'exercice intégralement. J'aurai peut-être d'autres questions. Merci pour les vacances, mais elles ne seront pas sans maths. Bonne nuit.
Pour étudier le signe du quotient, on construit un tableau à 4 lignes:
Étudier le signe des quotients suivants:
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