Dveloppement de Taylor, séries entières, fonctions usuelles
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Résumé: Séries entières. Calcul des fonctions
transcendantes usuelles. Soit f une fonction indéfiniment dérivable sur un intervalle I de
et x 0 I. Séries numériques, suites et séries de fonctions, séries entières. On peut alors effectuer le développement de Taylor de f
en x 0 à l'ordre n
T n ( f)( x) = f ( x 0) + ( x - x 0) f' ( x 0) +... + ( x - x 0) n
et se demander si T n ( f) converge lorsque n tend vers
l'infini, si la limite est égale à f ( x) et si on peut facilement
majorer la différence entre f ( x) et T n ( f)( x). Si c'est le
cas, on pourra utiliser T n ( f)( x) comme valeur approchée de f ( x). On peut parfois répondre à ces questions simultanément en regardant le
développement de Taylor de f avec reste: il existe compris
entre x 0 et x tel que
R n ( x): = f ( x) - T n ( f)( x) = ( x - x 0) n+1
C'est le cas pour la fonction exponentielle que nous allons
détailler, ainsi que les fonctions sinus et cosinus.
SÉRies NumÉRiques - A Retenir
Une fonction holomorphe (dérivable au sens complexe) est analytique, ce qui donne une place de choix aux séries entières en analyse complexe. Séries entières usuelles. EN RÉSUMÉ Les séries entières, qui tirent leur nom du fait que seules des puissances entières de la variable entrent en jeu, occupent une place à part dans l'univers infini des séries. La question centrale de l'étude des séries étant leur convergence, l'existence d'un rayon de convergence (calculable par de nombreuses méthodes) pour les séries entières en fait un outil très précieux. En outre, les séries entières permettent de représenter « simplement » les fonctions usuelles, ce qui a ouvert le champ très fertile de l'étude des fonctions analytiques.
Résumé De Cours : Séries Entières
Dans le cas contraire, pour des modules supérieurs à R, elle diverge. On appelle alors ce réel R le rayon de convergence de la série entière. Le disque de centre 0 et de rayon R est appelé disque ouvert de conver¬ gence de la série entière. CALCUL DU RAYON DE CONVERGENCE Si le rayon de convergence fournit un critère théorique de convergence ou de divergence d'une série entière, il n'est pas toujours aisé de le calculer en pratique. Il existe cependant de nombreuses méthodes afin de le déterminer. Séries numériques - A retenir. On peut, dans certains cas, utiliser directement la définition du rayon de convergence afin de l'expliciter. Si cela n'est pas possible, on peut utiliser la règle de Cauchy (étude de la limite des racines n-ièmes des modules des coefficients an) ou bien la règle de d'Alembert (étude de la limite des modules des quotients de deux coefficients successifs). Il est également possible d'utiliser certains théorèmes, comme le théorème de comparaison de séries entières, celui du rayon de conver¬ gence d'une somme ou d'un produit (énoncé par Cauchy) ou encore de sa dérivée.
Séries Numériques, Suites Et Séries De Fonctions, Séries Entières
Cas de la variable complexe
Théorème (dérivabilité de la variable complexe): Soit $f(z)=\sum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors, pour tout $z_0\in D(0, R)$,
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\sum_{n\geq 1}n a_n z_0^{n-1}. $$
Développements en série entière
Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est développable en série entière en 0 s'il existe $r>0$ et une suite $(a_n)$ tels que, pour tout $x\in]-r, r[$, on ait
$f(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n$. En particulier, une fonction développable en série entière en $0$ est de classe $\mathcal C^\infty$ au voisinage de $0$. Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. Le produit de deux fonctions développables en série entière est développable en série entière. Résumé de cours : séries entières. Il en est de même de la dérivée ou d'une primitive d'une fonction développable en série entière. Corollaire: Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et $f:I\to\mathbb R$.
Calculer le rayon de convergence d'une série entière
Pour calculer le rayon de convergence d'une série entière, on peut
utiliser la règle de d'Alembert (uniquement dans ces cas pratiques); si la série entière est de la forme $\sum_n a_n z^{pn}$, on pose
$u_{n}=a_n z^{pn}$ et on étudie la limite de $|u_{n+1}/u_n|$. La série va converger si cette limite est inférieure stricte à 1, diverger si la limite
est supérieure stricte à 1 ( voir cet exercice). trouver un encadrement ou un équivalent du terme général ( voir cet exercice). Démontrer qu'une fonction est développable en série entière
Pour démontrer qu'une fonction est développable en série entière, on peut
pour les exemples pratiques, utiliser les développements en série entière usuels et les règles de sommation et de produits ( voir cet exercice);
pour les exercices théoriques, utiliser une formule de Taylor ( voir cet exercice).
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