Correction de l'exercice fonction paire ou impaire - YouTube
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Fonction Paire Et Impaire Exercice Corrige Les
Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Exemple: ( modèle) Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la fonction carrée $f:x\mapsto x^{2}$, définie sur $\R$ est une fonction paire car $\R$ est symétrique par rapport à zéro et pour tout $x\in \R$: $$f(-x) =(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$$
La courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Remarque
Si une fonction est paire, on peut réduire le domaine d'étude de la fonction à la partie positive de $D_{f}$. Fonction paire et impaire (hors-programme-lycee) - Exercices corrigés : ChingAtome. La courbe de $f$ peut alors se construire par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées du repère. 1. 2. Fonctions impaires
Définition 3. On dit que $f$ est impaire lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées: 1°) le domaine de définition $D$ est symétrique par rapport à zéro; 2°) et pour tout $x\in D$: $[f(-x)=-f(x)]$. Le modèle de ces fonctions est donné par les fonctions monômes de degré impair: $x\mapsto x^{2p+1}$.
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si la courbe est symétrique par rapport à l' axe des ordonnées, la fonction est paire. si la courbe est symétrique par rapport à l' origine, la fonction est impaire. 2nd - Exercices corrigés - Arithmétique - Nombres pairs et nombres impairs. Une fonction peut n'être ni paire, ni impaire (c'est même le cas général! ) Seule la fonction nulle ( x ↦ 0 x\mapsto 0) est à la fois paire et impaire. Exemple 1
Montrer que la fonction définie sur R \ { 0} \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} par f: x ↦ 1 + x 2 x 2 f: x\mapsto \frac{1+x^{2}}{x^{2}} est paire. Pour tout réel non nul x x:
f ( − x) = 1 + ( − x) 2 ( − x) 2 f\left( - x\right)=\frac{1+\left( - x\right)^{2}}{\left( - x\right)^{2}}
Or ( − x) 2 = x 2 \left( - x\right)^{2}=x^{2} donc
f ( − x) = 1 + x 2 x 2 f\left( - x\right)=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}
Pour tout x ∈ R \ { 0} x\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}, f ( − x) = f ( x) f\left( - x\right)=f\left(x\right) donc la fonction f f est paire. Exemple 2
Etudier la parité de la fonction définie sur R \mathbb{R} par f: x ↦ 2 x 1 + x 2 f: x\mapsto \frac{2x}{1+x^{2}}
La courbe de la fonction f f donnée par la calculatrice semble symétrique par rapport à l'origine du repère.
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Si $n$ est impair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$. Par conséquent $n+1=2k+1+1=2k+2=2(k+1)$. Ainsi $n(n+1)=n\times 2(k+1)$ est pair. Exercice 4
On considère un entier naturel $n$. Étudier la parité des nombres suivants:
$$A=2n+6 \qquad B=6n+8 \qquad C=40n+1 $$
Montrer que $A+C$ est un multiple de $7$. Correction Exercice 4
Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs. $A=2n+6=2(n+3)$ est pair
$B=6n+8=2(3n+4)$ est pair
$C=40n+1=2\times 20n+1$ est impair
On a:
$\begin{align*} A+C&=2n+6+40n+1 \\
&=42n+7 \\
&=7\times 6n+7\times 1\\
&=7(6n+1)\end{align*}$
Donc $A+C$ est un multiple de $7$. Exercice 5
Pour tout entier naturel $n$ montrer que $5n^2+3n$ est un nombre pair. Correction Exercice 5
On suppose que $n$ est impair. D'après le cours, on sait que si $n$ est impair alors $n^2$ est également impair. Fonction paire et impaired exercice corrigé du. Il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $n=2a+1$ et $n^2=2b+1$. $\begin{align*} 5n^2+3n&=5(2b+1)+3(2a+1) \\
&=10b+5+6a+3\\
&=10b+6a+8 \\
&=2(5b+3a+4)\end{align*}$
Par conséquent $5n^2+3n$ est pair.
Ainsi $k+1=2n+2$
$\begin{align*} (k+1)^2-k^2&=(2n+2)^2-(2n+1)^2 \\
&=4n^2+8n+4-\left(4n^2+4n+1\right)\\
&=4n+1+8n+4-4n^2-4n-1\\
&=4n+3\\
&=4n+2+1\\
&=2\times (2n+1)+1\end{align*}$
Exercice 8 Difficulté +
On considère deux entiers naturels impairs $a$ et $b$. Montrer que $N=a^2+b^2+6$ est divisible par $8$. Correction Exercice 8
$a$ et $b$ sont deux entiers naturels impairs. Il existe donc deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $a=2n+1$ et $b=2m+1$. $\begin{align*} N&=a^2+b^2+6 \\
&=(2n+1)^2+(2m+1)+6\\
&=4n^2+4n+1+4m^2+4m+1+6\\
&=4n^2+4n+4m^2+4m+8\\
&=4n(n+1)+4m(m+1)+8\end{align*}$
D'après l'exercice 3, le produit de deux entiers consécutifs est pair. Fonction paire et impaired exercice corrigé pdf. Il existe donc deux entiers naturels (car $n$ et $m$ sont des entiers naturels) $p$ et $q$ tels que:
$n(n+1)=2p$ et $m(m+1)=2q$. $\begin{align*} N&=4n(n+1)+4m(m+1)+8 \\
&=4\times 2p+4\times 2q+8\\
&=8p+8q+8\times 1\\
&=8(p+q+1)\end{align*}$
Le nombre $N$ est donc divisible par $8$. Exercice 9 Difficulté +
Montrer que le reste de la division euclidienne par $8$ du carré de tout nombre impair est $1$.
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