Ou sa conséquence:
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si
ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. posons
z = x + yi
Alors, z solution de
Il faut maintenant mettre ce membre sous forme algébrique. Equation du second degré complexe. La solution de l'équation est donc:
3/ Equations du second degré dans ℂ
Rappel dans
ℝ
sur un exemple:
Soit l' équation
x 2 − 2x -3 = 0
calcul du discriminant
donc
Δ
possède deux racines opposées réelles
par conséquent, l'équation admet: deux solutions réelles
Transposition à ℂ
z 2 −2z +2 =0
donc Δ possède deux racines opposées imaginaires pures:
par conséquent, l' équation admet: deux solutions complexes. Il est à noter que ces deux racines complexes sont conjuguées. Cas général et bilan
Soit l'équation
avec a, b et c élément de ℝ.
possède toujours
dans ℂ
deux racines opposées:
r 1 et r 2
et l' équation a pour solution(s):
Qui ne peuvent pas être égale car on aurait alors
d'où
z 1
ce qui est impossible avec
Δ. 4/ Représentation d'un nombre complexe par un vecteur du plan
A partir de tout nombre complexe:
Il est possible de construire un vecteur
du plan de coordonnées
pour cela, il faut tout d'abord doter le plan d'une base, qui ne sera pas notée
mais
pour éviter toute confusion avec i.
Racines Complexes Conjuguées
Degré 4 [ modifier | modifier le code]
Contrairement au degré 3, il n'y a pas forcément une racine réelle. Toutes les racines peuvent être complexes. Les résultats pour le degré 4 ressemblent à ceux pour le degré 3, avec l'existence de branches à image réelle sous forme de courbes complexes solution d'équation en y 2. Ces courbes sont donc symétriques, mais leur existence n'est pas assurée. Les branches sont orientées dans le sens inverse de la courbe réelle. Conclusion [ modifier | modifier le code]
La visualisation des branches d'image réelle pour le degré 2 est intéressante et apporte l'information recherchée: où sont les racines complexes. La visualisation des branches d'image réelle pour les degrés supérieurs à 3 - quand elle est possible - n'apporte pas beaucoup, même si elle peut indiquer - quand elle est possible - où sont les racines complexes. Racines complexes conjugues du. Bibliographie [ modifier | modifier le code]
LOMBARDO, P. NOMBRES ALGÉBRIQUES PRÉSENTÉS COMME SOLUTIONS DE SYSTÈMES D'ÉQUATIONS POLYNOMIALES.
Warusfel [ 2], qui argumente ainsi « on est conduit ainsi à une géométrie complexifiée où tout est plus simple »). Degré 3 [ modifier | modifier le code]
La courbe réelle y = P 3 ( x) a au moins une intersection avec l'axe réel (éventuellement triple), elle peut en avoir 3, ou 2 (avec 1 double). Si elle n'a qu'une seule intersection réelle (simple), alors les deux intersections manquantes sont complexes (conjuguées l'une de l'autre). Racines conjuguées d'un polynôme complexe - forum mathématiques - 480812. Lorsque la courbe réelle de y = P 3 ( x) possède un coude et que ce coude est proche de l'axe ( Ox), alors par un argument de continuité, on peut avancer que les intersections complexes sont proches de cet optimal local, mais quand la courbe ne possède pas de coude, ou que le coude est loin de l'axe ( Ox), où vont les intersections complexes? Notons pour faire quelques calculs:
Si l'on cherche les points réels, il faut annuler le coefficient imaginaire. On trouve, ou. C'est-à-dire la courbe réelle et deux courbes complexes symétriques l'une de l'autre (ce qui assure l'existence de racines conjugués, si des racines existent).
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