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2 exercices corrigés sur les fonctions logarithmes et exponentielles
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Exercices Corrigés Sur Les Fonctions Logarithms Et Exponentielles Du
La notation log x est un peu ambigue. Elle sert parfois à désigner le logarithme décimal, et parfois le logarithme népérien (notamment dans les livres d'origine anglo-saxonne, ou même les livres universitaires). Exponentielle
L a fonction ln est une bijection de sur R. Si x est dans, il existe donc un unique y de R tel que ln y =x. Par définition, le nombre y s'appelle exponentielle de x, et se note exp x. La fonction exp vérifie les propriétés suivantes:
exp est dérivable sur R, et (exp)'(x)=exp(x). exp(0)=1. exp(a+b)=exp(a)×exp(b) et exp(na)=[exp(a)] n. La fonction exponentielle permet de définir des puissances non entières d'un réel strictement positif:
Définition: Soit a un réel strictement positif, et b un réel. On définit a b, appellé a puissance b, en posant:
b est l'exposant de a b.
En particulier, on retrouve, à l'aide des propriétés du logarithme, les bonnes valeurs pour a 2 (=a× a), a 1/2 (=racine de a). Les règles de calcul avec des puissances réelles sont les mêmes que lorsqu'on manipule des exposants entiers.
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Résoudre les équations suivantes (on déterminera au préalable l'ensemble de définition de chaque équation):
e x + 1 = 2 e^{x+1}=2
e x 2 = 1 2 e^{x^{2}}=\frac{1}{2}
ln ( x + 1) = − 1 \ln\left(x+1\right)= - 1
ln ( x + 1) + ln ( x − 1) = 1 \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1
Corrigé
Cette équation est définie sur R \mathbb{R}. e x + 1 = 2 ⇔ x + 1 = ln 2 e^{x+1}=2 \Leftrightarrow x+1=\ln2 (d'après cette propriété)
L'équation a pour unique solution x = ln 2 − 1 x=\ln2 - 1
L'équation est définie sur R \mathbb{R} et équivalente à:
x 2 = ln ( 1 2) x^{2}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)
x 2 = − ln ( 2) x^{2}= - \ln\left(2\right)
Comme − ln ( 2) < 0 - \ln\left(2\right) < 0 l'équation proposée n'a pas de solution. L'équation est définie si x + 1 > 0 x+1 > 0 donc sur l'intervalle D =] − 1; + ∞ [ D=\left] - 1; +\infty \right[
Sur cet intervalle, elle est équivalente à:
x + 1 = e − 1 x+1=e^{ - 1}
x = − 1 + e − 1 x= - 1+e^{ - 1} (que l'on peut aussi écrire − 1 + 1 e - 1+\frac{1}{e} ou 1 − e e \frac{1 - e}{e})
Cette valeur appartient bien à D D donc est l'unique solution de l'équation.
Exercices Corrigés Sur Les Fonctions Logarithms Et Exponentielles Le
Cette équation est définie pour x > − 1 x > - 1 et x > 1 x > 1 c'est à dire sur l'intervalle D =] 1; + ∞ [ D = \left]1; +\infty \right[.
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