C'est donc le spectre d'un signal périodique de période T. Pour simuler un spectre continu, T devra être choisi très grand par rapport à la période d'échantillonnage. Le spectre obtenu est périodique, de périodicité fe=N/T, la fréquence d'échantillonnage. 2. Signal à support borné
2. a. Exemple: gaussienne
On choisit T tel que u(t)=0 pour |t|>T/2. Considérons par exemple une gaussienne centrée en t=0:
u ( t) = exp - t 2 a 2 dont la transformée de Fourier est
S ( f) = a π exp ( - π 2 a 2 f 2) En choisissant par exemple T=10a, on a | u ( t) | < 1 0 - 1 0 pour t>T/2
Chargement des modules et définition du signal:
import math
import numpy as np
from import *
from import fft
a=1. 0
def signal(t):
return (-t**2/a**2)
La fonction suivante trace le spectre (module de la TFD) pour une durée T et une fréquence d'échantillonnage fe:
def tracerSpectre(fonction, T, fe):
t = (start=-0. 5*T, stop=0. 5*T, step=1. 0/fe)
echantillons = ()
for k in range():
echantillons[k] = fonction(t[k])
N =
tfd = fft(echantillons)/N
spectre = T*np.
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import as wavfile
# Lecture du fichier
rate, data = wavfile. read ( '')
x = data [:, 0] # Sélection du canal 1
# Création de instants d'échantillons
t = np. linspace ( 0, data. shape [ 0] / rate, data. shape [ 0])
plt. plot ( t, x, label = "Signal échantillonné")
plt. ylabel ( r "Amplitude")
plt. title ( r "Signal sonore")
X = fft ( x) # Transformée de fourier
freq = fftfreq ( x. size, d = 1 / rate) # Fréquences de la transformée de Fourier
# Calcul du nombre d'échantillon
N = x. size
# On prend la valeur absolue de l'amplitude uniquement pour les fréquences positives et normalisation
X_abs = np. abs ( X [: N // 2]) * 2. 0 / N
plt. plot ( freq_pos, X_abs, label = "Amplitude absolue")
plt. xlim ( 0, 6000) # On réduit la plage des fréquences à la zone utile
plt. title ( "Transformée de Fourier du Cri Whilhelm")
Spectrogramme d'un fichier audio ¶ On repart du même fichier audio que précédemment. Le spectrogramme permet de visualiser l'évolution des fréquences du signal au cours du temps. import as signal
import as wavfile
#t = nspace(0, [0]/rate, [0])
# Calcul du spectrogramme
f, t, Sxx = signal.
Cette traduction peut être de x n à X k. Il convertit les données spatiales ou temporelles en données du domaine fréquentiel. ():
Il peut effectuer une transformation discrète de Fourier (DFT) dans le domaine complexe. La séquence est automatiquement complétée avec zéro vers la droite car la FFT radix-2 nécessite le nombre de points d'échantillonnage comme une puissance de 2. Pour les séquences courtes, utilisez cette méthode avec des arguments par défaut uniquement car avec la taille de la séquence, la complexité des expressions augmente. Paramètres:
-> seq: séquence [itérable] sur laquelle la DFT doit être appliquée. -> dps: [Integer] nombre de chiffres décimaux pour la précision. Retour:
Transformée de Fourier Rapide
Exemple 1:
from sympy import fft
seq = [ 15, 21, 13, 44]
transform = fft(seq)
print (transform)
Production:
FFT: [93, 2 - 23 * I, -37, 2 + 23 * I]
Exemple 2:
decimal_point = 4
transform = fft(seq, decimal_point)
print ( "FFT: ", transform)
FFT: [93, 2, 0 - 23, 0 * I, -37, 2, 0 + 23, 0 * I]
Article written by Kirti_Mangal and translated by Acervo Lima from Python | Fast Fourier Transformation.
Considérons par exemple un signal périodique comportant 3 harmoniques:
b = 1. 0 # periode
w0=1*
return (w0*t)+0. 5*(2*w0*t)+0. 1*(3*w0*t)
La fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à 6/b pour éviter le repliement de bande. La durée d'analyse T doit être grande par rapport à b pour avoir une bonne résolution:
T=200. 0
fe=8. 0
axis([0, 5, 0, 100])
On obtient une restitution parfaite des coefficients de Fourier (multipliés par T). En effet, lorsque T correspond à une période du signal, la TFD fournit les coefficients de Fourier, comme expliqué dans Transformée de Fourier discrète: série de Fourier. En pratique, cette condition n'est pas réalisée car la durée d'analyse est généralement indépendante de la période du signal. Voyons ce qui arrive pour une période quelconque:
b = 0. 945875 # periode
On constate un élargissement de la base des raies. Le signal échantillonné est en fait le produit du signal périodique défini ci-dessus par
une fenêtre h(t) rectangulaire de largeur T. La TF est donc le produit de convolution de S avec la TF de h:
H ( f) = T sin ( π T f) π T f qui présente des oscillations lentement décroissantes dont la conséquence sur le spectre d'une fonction périodique est l'élargissement de la base des raies.
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Licence CC BY-NC-SA 4. 0 2021, David Cassagne. Créé le 15 oct 2012. Mis à jour le 11 sept. 2021. Created using Sphinx 4. 0. 1.
A l'...
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