Exercices avec taux de variation
En classe de première générale, on débute le chapitre sur la dérivation par la notion de nombre dérivé. Puis on étudie celle de tangente et la fonction dérivée peut venir ensuite. Or, si vous vous rendez en page de tangente, vous y trouverez un savoir-faire basé sur la dérivation de fonction. Vous risquez donc d'être perdu si, en classe, vous n'apprenez pas les choses dans cet ordre. Cette page vous propose deux exercices plutôt difficiles sur les nombres dérivés et la détermination de tangentes (sans qu'il soit nécessaire de savoir dériver une fonction). D'accord, c'est plus long et vous risquez d'oublier cette technique peu pratique mais il faut passer par là pour bien. L'exercice de démonstration est exigible au programme. Rappel: le nombre dérivé en \(a\) de la fonction \(f\) s'obtient ainsi:
\[f'(a) = \mathop {\lim}\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\]
Échauffement
Soit \(f\) la fonction carré. EXERCICE : Calculer le nombre dérivé (Niv.1) - Première - YouTube. Déterminer \(f'(2). \)
Corrigé
\(\frac{(2 + h)^2 - 2^2}{h}\)
\(= \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h}\)
\(=\frac{h(4 + h)}{h} = 4 + h\)
\(\mathop {\lim}\limits_{h \to 0}{4 + h} = 4\)
Par conséquent, \(f\) est dérivable en 2 et \(f'(2) = 4\)
Exercice
Préciser si la fonction \(f: x ↦ \sqrt{x^2 - 4}\) est dérivable en 3 et donner la valeur de \(f(3)\) avec la technique du taux de variation.
Nombre Dérivé Exercice Corrigé Les
Soit la fonction f f, définie par: f ( x) = x 2 + 3 x − 4 f\left(x\right)=x^{2}+3x - 4 et C f \mathscr C_{f} sa courbe représentative. Calculer f ( h) − f ( 0) h \frac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h} pour h ≠ 0 h\neq 0. En déduire la valeur de f ′ ( 0) f^{\prime}\left(0\right). Déterminer l'équation de la tangente à la parabole C f \mathscr C_{f} au point d'abscisse 0 0. Corrigé
Pour h ≠ 0 h\neq 0:
f ( h) − f ( 0) h = ( h 2 + 3 h − 4) − ( 0 2 + 3 × 0 − 4) h = h 2 + 3 h h = h + 3 \frac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h}=\frac{\left(h^{2}+3h - 4\right) - \left(0^{2}+3\times 0 - 4\right)}{h}=\frac{h^{2}+3h}{h}=h+3
Lorsque h h tend vers 0 0, le rapport f ( 0 + h) − f ( 0) h = h + 3 \frac{f\left(0+h\right) - f\left(0\right)}{h}=h+3 tend vers 3 3 donc f ′ ( 0) = 3 f^{\prime}\left(0\right)=3. Nombre dérivé - Première - Exercices corrigés. L'équation cherchée est:
y = f ′ ( 0) ( x − 0) + f ( 0) y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x - 0\right)+f\left(0\right)
Or f ( 0) = 0 2 + 3 × 0 − 4 = − 4 f\left(0\right)=0^{2}+3\times 0 - 4= - 4 et f ′ ( 0) = 3 f^{\prime}\left(0\right)=3 d'après la question précédente.
Corrigé expliqué
\(f\) est dérivable si \(x^2 - 4 > 0\) donc sur \(]- ∞\, ; -2[ ∪]2\, ;+∞[. \) Ainsi elle est dérivable en 3. \(\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}\)
\(= \frac{\sqrt{(3 + h)^2-4} - \sqrt{9 - 4}}{h}\)
Utilisons les quantités conjuguées. \(= \frac{(\sqrt{(3+h)^2 - 4}-\sqrt{5})(\sqrt{(3+h)^2 - 4}+\sqrt{5})}{h(\sqrt{(3+h)^2 - 4}+\sqrt{5})}\)
\(= \frac{(3+h)^2 - 4 - 5}{ h(\sqrt{(3+h)^2 - 4}+\sqrt{5})}\)
Développons l' identité remarquable du numérateur. Nombre dérivé : exercice | Mathématiques première spécialité - YouTube. \(=\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{ h(\sqrt{(3+h)^2-4}+\sqrt{5})}\)
\(=\frac{6 + h}{ \sqrt{(3+h)^2-4}+\sqrt{5}}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{h \to 0} \frac{6 + h}{ \sqrt{(3+h)^2-4}+\sqrt{5}}\) \(=\) \(\frac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{5}}\) \(=\) \(\frac{6}{2\sqrt{5}}\) \(=\) \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
Démonstration
Démontrer la formule de l'équation de la tangente en un point de la courbe représentative. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle contenant le réel \(a. \)
L'équation de la tangente à la courbe représentative de\(f\) au point d'abscisse \(a\) est:
\(y = f(a) + f'(a)(x - a)\)
Par définition, la tangente est une droite dont le coefficient directeur est \(f'(a).
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