Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne du Tage Mage
Les probabilités accompagnent les élèves tout au long de leur scolarité jusqu'à la préparation du bac pour certain, mais aussi jusqu'en prépa et pas uniquement en MPSI ou PCSI et prépa HEC. De plus, l'étude des probabilités commence très tôt, en primaire pour les plus précoces. Il est donc capital de comprendre les bases de ce domaine de mathématiques, ce qui pourra vous servir même en dehors des cours dans la vie quotidienne. Formule de probabilités de base:
proba =
Exemple type pour illustrer:
Une urne contient des boules numérotées de 1 à 40. On en tire une au hasard, quelle est la probabilité que ce soit une boule portant un multiple de 3 impair? Les probabilités 1ère. Réponse:
On applique la formule ci-dessus:
• Nombre total de cas: 40 (car 40 boules dans l'urne). • Nombre de cas favorables: les multiples de 3 qui sont impairs:
3; 9; 15; 21; 27; 33; 39. Il y en a 7. Donc la probabilité voulue vaut
Tirage sans remise en probabilité: Attention le total change!
Les Probabilités 1Ere Saison
On lance une pièce deux fois. On note F pour face et P pour pile. L'univers associé à cette expérience est:
Ω = {(F, F), (F, P), (P, F), (P, P)}. L'évènement "obtenir une fois pile" s'écrit
{(F, P), (P, F)}. Les probabilités en première : cours et exercices. L'évènement "obtenir deux fois face" s'écrit
{(F, F)}. C'est un évènement élémentaire (il ne contient qu'une issue). Probabilité d'un évènement
La probabilité d'un évènement A non vide est le nombre réel noté P(A) qui est égal à la somme des probabilités des issues qui le réalisent. Propriété:
• P (Ω) = 1
• P (∅) = 0
• Pour tout évènement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
Soit E une expérience aléatoire d'univers associé Ω = {e1,...., en}. Si la loi de probabilité est équirepartie et si A est un évènement réalisé pour k issues, alors
On lance deux fois une pièce bien équilibrée et on note F pour face et P pour pile. L'univers associé est:
Ω = {(F, F), (F, P), (P, F), (P, P)}
et la loi de probabilité est équirépartie. Soient A l'évènement "obtenir une fois pile" et B l'évènement "obtenir deux fois face"'.
Les Probabilités 1Ere Les
Définissions maintenant rigoureusement la notion de variable aléatoire. Définition:
Une variable aléatoire discrète sur Ω \Omega est une fonction X X de Ω \Omega dans R \mathbb R.
Ω ⟶ X R \Omega\overset{X}{\longrightarrow}\mathbb R
e i ⟼ x i e_i\longmapsto x_i
2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Cours sur les probabilités - première. Dans l'exemple précédent, on a les égalités suivantes:
P ( X = 1) = 4 9; P ( X = 10) = 2 9; P ( X = − 3) = 3 9 P(X=1)=\frac{4}{9}\;\ P(X=10)=\frac{2}{9}\;\ P(X=-3)=\frac{3}{9}
On suppose que X X prend les valeurs { x 1; x 2; …; x p} \{x_1; x_2; \ldots; x_p\}
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X X, c'est donner l'ensemble des probabilités p i = P ( X = x i) p_i=P(X=x_i), avec 1 ≤ i ≤ p 1\leq i\leq p.
Remarques:
Une loi de probablité est souvent donnée sous forme d'un tableau. x i x_i
x 1 x_1
… \ldots
x p x_p
p i p_i
P ( X = x 1) P(X=x_1)
P ( X = x p) P(X=x_p)
Dans l'exemple précédent, on obtient alors le tableau suivant:
− 3 -3
1 1
10 10
3 9 \frac{3}{9}
4 9 \frac{4}{9}
On ordonne en général les valeurs x i x_i dans l'ordre croissant.
Les Probabilités 1Ere 2
I. Rappels. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est lié au hasard. Une expérience aléatoire est composée d' issues. Un évènement est composé de plusieurs issues;
Une probabilité est un réel positif et inférieur à 1;
On note souvent Ω \Omega l'univers associé à l'expérience aléatoire;
On note souvent A A un évènement, c'est un sous-ensemble de Ω \Omega;
A ˉ \bar{A} est l'évènement contraire de A A: P ( A ˉ) = 1 − P ( A) P(\bar{A})=1-P(A);
A ∩ B A\cap B est l'intersection des évènements A A et B B. A ∪ B A\cup B est la réunion des évènements A A et B B. On rappelle que P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). Probabilités - Contrôle continu 1ère - 2020 - Sujet zéro - Maths-cours.fr. II. Variables aléatoires
1. Définitions. Utilisons un exemple afin de définir ces nouvelles notions. Exemple:
Une urne contient 9 jetons numérotés de 1 à 9. Un joueur tire un jeton au hasard dans l'urne:
si le numéro tiré est pair, il gagne 1 €;
si le numéro tiré est 1 ou 9, il gagne 10 €;
sinon, il perd 3 €.
Avant d'appliquer cette formule, ne pas oublier de signaler l'équiprobabilité et l'expression du texte qui la justifie.
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