Voici une illustration réalisée avec Geogebra pour montrer les angles droits en C et D.
Équation cartésienne d'une droite dans le plan
Dans un plan muni d'un repère, une droite qui admet une "équation réduite" du type y = a𝑥 + b, admet également une équation cartésienne sous la forme: αx + βy + δ = 0. Cependant, une droite possède une seule et unique équation réduite, contrairement aux équations cartésiennes qui peuvent prendre un nombre infini d'équation pour une seule droite. Par définition, un ensemble de points M(𝑥; y) qui vérifie l'équation αx + βy + δ = 0 est une droite. Droites du plan seconde paris. Le vecteur directeur de cette dernière est u(-β; α). On dit que deux droites d'équations αx + βy + δ = 0 et α'x + β'y + δ' = 0 sont parallèles si les réels vérifient l'équation αβ' – α'β = 0. Pour obtenir une équation réduite à partir d'une équation cartésienne, il vous suffit d'appliquer la formule suivante:
Remarque: la représentation graphique d'une équation de type αx + δ = 0 prend toujours la forme d'une droite verticale.
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Droites Du Plan Seconde Le
Soient A A et B B deux points du plan tels que x A ≠ x B x_A\neq x_B. Le coefficient directeur de la droite ( A B) \left(AB\right) est:
m = y B − y A x B − x A m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
Remarque
Une fois que le coefficient directeur de la droite ( A B) \left(AB\right) est connu, on peut trouver l'ordonnée à l'origine en sachant que la droite ( A B) \left(AB\right) passe par le point A A donc que les coordonnées de A A vérifient l'équation de la droite. Droites du plan. Exemple
On recherche l'équation de la droite passant par les points A ( 1; 3) A\left(1; 3\right) et B ( 3; 5) B\left(3; 5\right). Les points A A et B B n'ayant pas la même abscisse, cette équation est du type y = m x + p y=mx+p avec:
m = y B − y A x B − x A = 5 − 3 3 − 1 = 2 2 = 1 m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}=\frac{5 - 3}{3 - 1}=\frac{2}{2}=1
Donc l'équation de ( A B) \left(AB\right) est de la forme y = x + p y=x+p. Comme cette droite passe par A A, l'équation est vérifiée si on remplace x x et y y par les coordonnées de A A donc:
3 = 1 + p 3=1+p soit p = 2 p=2.
Droites Du Plan Seconde Vie
Remarquez que cette équation peut être multipliée par un réel quelconque, elle reste juste. Ainsi, une droite peut être définie par une infinité d'équations cartésiennes. À partir de là, de deux choses l'une. Soit la droite est parallèle à l'axe des ordonnées (verticale si le repère est orthogonal), alors \(y = 0\) et il existe une unique relation: \(x = - \frac{\delta}{\alpha}. \)
Soit elle ne l'est pas et il existe alors deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(y = ax + b. Droites du plan seconde vie. \) La droite coupe l'axe des ordonnées en un unique point. Si \(a = 0, \) la droite est parallèle à l'axe des abscisses; si \(b = 0, \) elle passe par l'origine. L'équation de type \(y = ax + b\) est dite réduite. Elle est UNIQUE pour définir une droite, contrairement à la cartésienne. On appelle \(a\) le coefficient directeur de la droite car il indique sa pente, comme nous allons le voir. Il DIRIGE. Quant au paramètre \(b, \) il représente l' ordonnée à l'origine puisque si \(x = 0, \) il est manifeste que \(y = b\) et c'est donc au point de coordonnées \((0\, ; b)\) que la droite transperce sans pitié l'axe des ordonnées.
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-y-1, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-x+y+1, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$
La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $x$ dans la ligne $L_2$
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2y+4, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; y, =, 2$
$⇔$ $\{\table x-3×2+3, =, 0; y, =, 2 $
$⇔$ $\{\table x=3; y=2 $
Méthode 2: Nous allons procéder par substitution. (S) $⇔$ $\{\table y={-1}/{-3}x-{3}/{-3}; x-y-1=0$
Remplacer $y$ par son expression dans la seconde ligne permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans dans la seconde ligne
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-({1}/{3}x+1)-1=0$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-{1}/{3}x-1-1=0$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; {2}/{3}x=2$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x=2×{3}/{2}=3$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}×3+1=2; x=3$
Méthode 3: Pour les curieux, nous allons procéder par combinaisons linéaires en choisissant d'éliminer $y$ cette fois-ci. $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); 3x-3y-3, =, 3×0, (3L_2 ⇨L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-3x+3y+3, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$
La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans la ligne $L_2$
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2x+6, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; x, =, 3$
$⇔$ $\{\table 3-3y+3, =, 0; x, =, 3 $
$⇔$ $\{\table y=2; x=3 $
On retrouve la solution du système $(x;y)=(3;2)$.
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