Ton prof de soutien scolaire en ligne t'aide à déterminer la valeur approchée de racine(2) par la méthode de Héron, avec un tableur et en créant un algorithme sous Python. Ce cours de maths associe méthodes traditionnelle (Héron) et moderne (Python) pour déterminer la valeur approchée de racine(2). Rappel historique: Formule de Héron
Il existe un très ancien document babylonien donnant une approximation de la racine de 2 sous la forme 1 24 51 10 en sexagésimal, c'est-à-dire, en décimal:
1, 414 212 963, au lieu de 1, 414 213 562. Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carrée de A c'est trouver un carré dont l'aire est A
A partir d'un rectangle de longueur et de largeur, on prend un nouveau rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents soit:, et dont l'aire reste A. En itérant le processus on se rapproche d'un carré d'aire figure suivante illustre cette technique:
1ere méthode: formule de Héron:
Cellule A2=1
Cellule B2:
Cellule A3:
Puis on étire vers le bas.
Méthode De Héron Exercice Corrigés
(d) A partir de quel n peut-on dire que \(u_{n}\) approche \(\sqrt{2}\) avec au moins 1000 décimales
exactes? (vn < \(10^{-1000}\))
Merci d'avance! SoS-Math(11)
Messages: 2881 Enregistré le: lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Méthode de Héron. Approximation de racines carrées
Message
par SoS-Math(11) » mer. 2 nov. 2011 22:27
Bonsoir,
En premier tu dois savoir que pour a et b positifs: \(sqrt{A\times{B}}\leq\frac{A+B}{2}\). Applique cette propriété à \(\frac{a}{u_n}\) et \(u_n\) pour trouver que \(u_{n+1}\geq{sqrt{a}}\). Comme \(u_n \leq{a}\) tu en déduis directement que \(u_{n+1}\leq{a}\). Ensuite calcule \(u_{n+1}-u_n\) et vérifie que cette différence est négative pour obtenir la décroissance de la suite. La suite est décroissante et minorée par 1 ou par \(sqrt{a}\) déduis-en la convergence. Ensuite pense que \(u_n\) et \(u_{n+1}\) ont la même limite \(l\) et déduis-en l'égalité, résout alors l'équation du second degré obtenue pour conclure. Bon courage
par SoS-Math(11) » jeu. 3 nov. 2011 23:15
Pour le 4c tu dois majorer \(u_3-\sqrt 2\) c'est à dire \(v_3\) tu peux donc utiliser la majoration du 4b.
Méthode De Héron Exercice Corrigé Mathématiques
Ce programme affiche:
(3. 3166247903554, 6)
Cela signifie que 6 termes ont suffit pour trouver la valeur approchée.
Méthode De Héron Exercice Corrige Les
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Méthode De Héron Exercice Corrigé
$$On choisit \(u_0\) de sorte que \(u_0-\sqrt{a} \leqslant 1\). Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, et pour a > 1, \( u_n-\sqrt{a} \leqslant d_n\). Initialisation: c'est ce que nous avons supposé, à savoir que \(u_0-\sqrt{a} \leqslant 1\). Hérédité: supposons que pour un entier k fixé, \( u_k-\sqrt{a} \leqslant d_k\). Alors:$$\begin{align}u_k-\sqrt{a} \leqslant d_k & \Rightarrow (u_k-\sqrt{a})^2 \leqslant d_k^2\\&\Rightarrow \underbrace{\frac{1}{2u_k}(u_k-\sqrt{a})^2}_{=u_{k+1}-\sqrt{a}} \leqslant \frac{1}{2u_k}d_k^2 \\& \Rightarrow u_{k+1}-\sqrt{a} \leqslant \underbrace{\frac{1}{2}d_k^2}_{=d_{k+1}}\times\frac{1}{u_k} \leqslant d_{k+1}\end{align}$$La dernière inégalité vient du fait que \(\frac{1}{u_k}<1\). Ainsi, comme la suite \((d_n)\) converge vers 0, il suffit que \(d_n \leqslant 10^{-p}\) pour que \(u_n-\sqrt{a} \leqslant 10^{-p}\). On peut facilement montrer que pour tout entier naturel n, $$d_n=\frac{1}{2^{v_n}}$$où la suite \((v_n)\) vérifie: $$v_0=0, \qquad v_{n+1}=2v_n+1.
4) a) montrer que pour tout entier n:
Un+1-√2 ≤ (1/(2√2)) (Un- √2)² ≤ 1/2 (Un- √2)²
b) montrer par récurrence que pour tout entier n≥1:
Un -√2 ≤ (1/2) 2n^{2n} 2 n * (Un- √2)
c) on choisit ici l=2. au bout de combien d'itérations sera t-on que Un est une valeur approchée de √2 à 10−910^{-9} 1 0 − 9 prés? 5° ALGO
a)pour tout précision e>0, on souhaite connaitre le nombre d'interactions pour lequel on est sûr que Un est une valeur approchée de √2 à e prés. on propose l'algorithme ci contre
variables: n: entier:e, l:réels
début
entrer (l;e);
n←0n\leftarrow 0 n ← 0
tant que
(12)2n\left(\frac{1}{2} \right)^{2n} ( 2 1 ) 2 n × ≥ (l−2)(l-\sqrt{2}) ( l − 2 ) ≥ e
faire n←n+1n\leftarrow n+1 n ← n + 1
FinTantQue
afficher (n);
fin
justifier qu'il permet de résoudre le probléme. b) programmer l'algorithme, puis l'éxecuter pour:
i)l=101 et e= 10−410^{-4} 1 0 − 4
ii) l=50 et e= 10−410^{-4} 1 0 − 4
c) commenter les résultats obtenus
voilà après avoir écrire ce gros pavé, j'espere que quelqu'un va m'aider
j'ai commencé à tracer les triangles pour mieux comprendre le probléme et la courbe de la focntion x →1/2*(x+(2/x))
apres j'ai besoin de votre aide pour la convergence de cette courbe et le reste de l'exercice
merci à tous de votre aide!
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