Calculer le module et l' argument de [latex]z_0[/latex] et ceux de [latex]z^\prime_0[/latex] suivant les valeurs de [latex](a; b)[/latex]. Fiche de révision nombre complexe al. Calculer la probabilité de l'événement [latex]E_1[/latex]: [latex]O, A[/latex] et [latex]A^\prime[/latex] sont alignés puis celle de l'événement [latex]E_2[/latex]:[latex]z^\prime_0[/latex] est un imaginaire pur. Soit [latex]X[/latex] la variable aléatoire qui, à chaque épreuve, associe le module de [latex]z^\prime_0[/latex]. Donner la loi de probabilité de [latex]X[/latex] et calculer son espérance mathématique. Corrigé
Solution rédigée par Paki
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Au cours de ce chapitre, nous allons définir les nombres complexes, leurs propriétés ainsi que la signification d'une forme algébrique d'un complexe d'un point de vue trigonométrique
I. Définition et résolution d'équations
A. Définition
1. Qu'est ce qu'un nombre complexe
Soit un nombre z= a+ib avec a et b deux réels et i l'unité imaginaire définie par la relation i 2 = -1→ z est donc un nombre complexe. On dit que a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z.
2. A retenir
Si zz' = 1, z' est donc l'inverse de z.
Soit z= a+ib, alors z ̅ défini comme étant égal à a-ib est dit le conjugué de z.
Soit z= a+ib, le module de z est défini comme étant √(a^2+〖yb〗^2) noté ∣z∣. B. Equations complexes
Soit l'é quation az2+bz+c= 0 avec a≠0:
Soit ∆ le discrimimant de az 2 +bz+c. Si ∆<0 cette équation admet deux solutions complexes conjuguées:
z1=(-b-i√(b 2 -4ac))/2a
z2=(-b+i√(b 2 -4ac))/2a
II. Formes trigonométriques et exponentielles
Soit un nombre complexe et non nul z. On admet que z = ∣z∣ (cosθ + isinθ) et on appelle cette écriture la forme trigonométrique de z. Les nombres complexes : Résumé et révision - Mathématiques | SchoolMouv. θ est l'argument de z.
A partir de la forme trigonométrique, on peut remplacer (cosθ + isinθ) par la notation eiα pour aboutir à la forme exponentielle z = ∣z∣e i θ.
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), remettons aussi les formules de Moivre et d'Euler Formule de Moivre Voici ce que la formule de Moivre affirme: \forall x \in \R, (\cos(x) + i \sin(x))^n=\left(e^{ix}\right)^n=e^{inx}= \cos(nx)+i \sin(nx) Formule d'Euler La formule d'Euler, qui est une relation reliant cosinus, sinus et exponentielle, est la suivante: e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) On en déduit la formule suivante, qui met en relation, e, i, & pi; et -1, en prenant x = π dans l'équation au-dessus Formules inclassables mais bien utiles Voici quelques autres formules inclassables mais bien utiles, et donc à retenir. \begin{array}{l}
\dfrac{1}{a+ib} = \dfrac{a-ib}{a^2+b^2}\\\\
\bar{\bar{z}} = z\\\\
\text{L'équation} z^n = 1 \text{ a n solutions. Fiche de révision nombre complexe online. } \\
\text{Ces solutions sont appelées racines n-ème de l'unité. }\\
\text{ Leurs valeurs sont:} e^{i \frac{2k\pi}{n}}, \ k \in \{0, \ldots, n-1\}
\end{array} Il faut aussi savoir que la formule du binôme de Newton s'applique aussi pour les nombres complexes. Et retrouver nos 5 derniers articles sur le même thème: Tagged: Binôme de Newton mathématiques maths nombre complexe Navigation de l'article
Fiche De Révision Nombre Complexe Al
La forme exponentielle est:
z = r e i θ z=r\text{e}^{i\theta}
Si A A et B B ont pour affixes respectives z A z_A et z B z_B:
A B = ∣ z B − z A ∣ AB=\left|z_B - z_A\right|
Un nombre réel non nul a pour argument 0 ( m o d. 2 π) 0~(\text{mod. }~2\pi) (s'il est positif) ou π ( m o d. 2 π) \pi~(\text{mod. }~2\pi) (s'il est négatif). Un nombre imaginaire pur non nul a pour argument π 2 ( m o d. 2 π) \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod. }~2\pi) (si sa partie imaginaire est positive) ou − π 2 ( m o d. 2 π) - \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod. }~2\pi) (si sa partie imaginaire est négative)
Si Δ \Delta est positif ou nul, on retrouve les solutions réelles. Les formules sur les nombres complexes - Progresser-en-maths. Si Δ \Delta est strictement négatif, l'équation possède deux solutions conjuguées:
z 1 = − b − i − Δ 2 a z_{1}=\frac{ - b - i\sqrt{ - \Delta}}{2a}
z 2 = − b + i − Δ 2 a z_{2}=\frac{ - b+i\sqrt{ - \Delta}}{2a}. L'ensemble des points M M tels que A M = B M AM=BM est la médiatrice du segment [ A B] [AB]. L'ensemble des points M M tels que A M = k AM=k est:
le cercle de centre A A et de rayon k k si k > 0 k > 0
le point A A si k = 0 k = 0
l'ensemble vide si k < 0 k < 0
l'ensemble des points M M tels que ( M A →; M B →) = ± π 2 ( m o d.
Fiche De Révision Nombre Complexe Pour
}~2\pi) est le cercle de diamètre [ A B] [AB] privé des points A A et B B (pour lesquels l'angle ( M A →; M B →) (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB}) n'est pas défini).
Fiche De Révision Nombre Complexe A La
I Notion de nombre complexe On appelle nombre complexe tout élément de la forme x+iy où x et y sont des réels et i un élément vérifiant i^2=-1. L'écriture z = x + iy (où x et y sont des réels) est appelée forme algébrique de z. Elle est unique. Parties réelle et imaginaire Soit un nombre complexe z = x + iy (où x et y sont réels):
On appelle partie réelle de z, notée \text{Re}\left(z\right), le réel x. On appelle partie imaginaire de z, notée \text{Im}\left(z\right), le réel y. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le nombre z est réel si et seulement si \text{Im}\left(z\right) = 0. Le nombre z est imaginaire pur si et seulement si \text{Re}\left(z\right) = 0. Nombres complexes - Cours - Fiches de révision. Soit un nombre complexe sous forme algébrique z = x + iy. On appelle conjugué de z, noté \overline{z}, le complexe: x - iy Soient z et z' deux nombres complexes tels que z=x+iy et z'=x'+iy'. \overline{\overline{z}} = z z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right) z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)
z est réel \Leftrightarrow z = \overline{z}
z est imaginaire pur \Leftrightarrow z = - \overline{z} \overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'} \overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'} Si z' non nul: \overline{ \left(\dfrac{z}{z'} \right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}} Pour tout entier relatif n (avec z\neq 0 si n \lt 0): \overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n} Soit un nombre complexe z = x + iy.
Les nombres complexes peuvent être représentés graphiquement dans le plan orienté muni d'un repère orthonormé direct. À tout nombre complexe, on peut associer un unique point du plan. Le plan orienté est muni d'un repère orthonormé direct O; u →, v →, c'est-à-dire orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. I Image d'un nombre complexe et affixe d'un point Soit un nombre complexe z = a + i b avec a; b ∈ ℝ 2. Le point M de coordonnées ( a; b) dans le repère O; u →, v → est appelé l' image du nombre complexe z dans le plan. Soit M un point de coordonnées ( a; b) dans le repère O; u →, v →. Le nombre complexe z = a + i b est appelé l' affixe du point M. On peut résumer ce qui précède par: M est l'image de z ⇔ z est l'affixe de M On peut donc noter sans ambiguïté M( z) le point M d'affixe z. Cette équivalence permet de considérer le plan orienté muni d'un repère orthonormé direct comme une « représentation » de l'ensemble des nombres complexes. Fiche de révision nombre complexe a la. On le nomme aussi parfois plan complexe.
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