L'essentiel pour réussir ses devoirs
Polynômes du second degré
Exercice 1
A savoir: les méthodes pour résoudre une équation. Revoir par exemple cet exercice de seconde. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x)=-6x^2-x+1$. a. Quelle est la nature de $f$? b. Montrer que $f$ admet pour forme canonique $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
c. Résoudre l'équation $f(x)={25}/{24}$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x)=x^2-14x+49$. b. Ecrire $f(x)$ sous forme canonique. c. Résoudre l'équation $f(x)=0$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x)=x^2-10x+3$. c. En déduire l'extremum de $f$ et donner l'abscisse pour laquelle il est atteint. Exercice math 1ere fonction polynome du second degré débattement en mm. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x)=2x^2-4x+5$. b. Montrer que $f$ admet pour forme canonique $2(x-1)^2+3$
c. Résoudre l'équation (E): $2x^2=4x+16$ sans utiliser de discriminant. Solution...
Corrigé
Un trinôme du second degré s'écrit sous forme développée réduite $ax^2+bx+c$ avec $a≠0$. a. $f(x)=-6x^2-x+1$.
Exercice Math 1Ere Fonction Polynome Du Second Degré
Donc $f$ admet bien pour forme canonique $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
Seconde méthode: pour les experts en calcul, il est possible de trouver la forme canonique par la méthode de complétion du
carré:
$f(x)=-6x^2-x+1=-6(x^2+{1}/{6}x-{1}/{6})$
$f(x)=-6(x^2+2×{1}/{12}x+({1}/{12})^2-({1}/{12})^2-{1}/{6})$
$f(x)=-6((x+{1}/{12})^2-{1}/{144}-{1}/{6})$
$f(x)=-6((x+{1}/{12})^2-{25}/{144})$
$f(x)=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$ (c'est l'écriture sous forme canonique demandée)
Une troisième méthode
consiste à utiliser le fait que $α={-b}/{2a}$ et que $β=f(α)$. Donc: $α={-b}/{2a}={1}/{-12}=-{1}/{12}$. Et: $β=f(α)=f(-{1}/{12})={150}/{144}={25}/{24}$. Exercice math 1ere fonction polynome du second degré. D'où la forme canonique: $f(x)=-6(x-(-{1}/{12}))^2+{25}/{24}=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
c. Résolvons l'équation $f(x)={25}/{24}$
Comme ${25}/{24}$ apparait dans la forme canonique, on utilise cette écriture. $f(x)={25}/{24}$ $ ⇔ $ $-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}={25}/{24}$ $ ⇔ $ $-6(x+{1}/{12})^2=0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
I. Fonctions polynômes du second degré (rappels de 2nde)
1. Définition et forme canonique
Définition n°1:
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction f f définie sur R \mathbb{R} par:
f ( x) = a x ² + b x + c f(x) = ax² + bx + c, avec a a, b b et c c des réels donnés, a a non nul. Remarque: Cette expression est aussi appelée trinôme. Théorème n°1:
Toute fonction polynôme du second degré, définie sur R \mathbb{R} par: f ( x) = a x 2 + b x + c f(x) = ax^2 + bx + c (avec a a, b b et c c réels, a a non nul) peut s'écrire sous la forme:
f ( x) = a ( x − α) 2 + β f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, avec α \alpha et β \beta deux réels. Polynômes du second degré | Bienvenue sur Mathsguyon. Cette expression est appelée forme canonique de f ( x) f(x). Exemple:
Soit le polynôme du second degré: f ( x) = 3 x 2 − 6 x + 4 f(x) = 3x^2 - 6x + 4. Vérifions que sa forme canonique est: 3 ( x − 1) 2 + 1 3(x - 1)^2 + 1. On développe:
3 ( x − 1) 2 + 1 = 3 ( x 2 − 2 x + 1) + 1 = 3 x 2 − 6 x + 3 + 1 = 3 x 2 − 6 x + 4 = f ( x) 3(x - 1)^2 + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 = 3x^2 - 6x + 3 + 1 = 3x^2 - 6x + 4 = f(x)
Donc 3 ( x − 1) 2 + 1 3(x - 1)^2 + 1 est la forme canonique de f ( x) f(x).
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